Questão 8.0 -
Mostre e justifique usando a equação de van de Waals que no limite quando o volume do gás é muito maior que o volume das partículas que ocupam esse volume, a equação de van de Waals se torna idêntica a equação dos gases ideais.
Mostre e justifique usando a equação de van de Waals que no limite quando o volume do gás é muito maior que o volume das partículas que ocupam esse volume, a equação de van de Waals se torna idêntica a equação dos gases ideais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar e justificar, a partir da equação de van der Waals, que no limite em que o volume do gás é muito maior que o volume ocupado pelas partículas a equação de van der Waals passa a ser idêntica à equação dos gases ideais.
Informações relevantes dadas (e símbolos que usarei):
Informações relevantes dadas (e símbolos que usarei):
Pergunta explícita: mostrar que, quando
é muito maior que o volume ocupado pelas partículas (isto é, quando
), a equação de van der Waals se reduz à equação dos gases ideais.
Passo 2
Apresento a equação de van der Waals e explico fisicamente cada termo (isso ajuda a entender por que alguns termos desaparecem no limite):
A equação de van der Waals para mols é
A equação de van der Waals para
Significado dos termos:
-
: corrige a pressão para levar em conta as forças de atração entre moléculas; quando as moléculas estão próximas, a pressão observada é menor que a esperada para um gás ideal, então somamos essa correção. -
: subtrai do volume total o volume efetivamente inacessível por causa do volume finito das moléculas; é o volume excluído por mol.
Fisicamente, se o volume totalé muito grande comparado a , as moléculas estão muito separadas: a influência das forças de atração e o efeito do tamanho finito tornam-se pequenos.
Passo 3
Para manipular algebraicamente é útil isolar
. A partir de
isolamos
(passo algébrico direto):
Passo 4
Agora formalizamos a hipótese do enunciado: “o volume do gás é muito maior que o volume das partículas”. Escrevemos isso como
Sob essa condição, as frações
e
são parâmetros pequenos que tendem a zero quando
aumenta muito (com
fixo).
Passo 5
Examino cada termo da expressão de
quando
é pequeno. Primeiro o termo volumétrico:
Usando a expansão geométrica (ou simplesmente observando que
),
Logo
O termo de correção aqui tem ordem
(quando expandido), portanto tende a zero mais rápido que
.
Passo 6
Agora o segundo termo da expressão de
:
é explicitamente da ordem
e, quando
cresce muito, esse termo também tende a zero (comportamento de ordem superior ao termo principal
).
Passo 7
Juntando as duas observações (Passos 5 e 6), na ausência de termos da ordem de
além do termo ideal, para
obtemos, ao primeiro ordem dominante,
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 8
Interpretação física final e conclusão: quando
é muito grande, as distâncias médias entre moléculas são grandes, então (i) o volume finito das moléculas (
) é desprezível em relação a
e (ii) as forças de atração entre moléculas tornam-se praticamente nulas, ou seja,
é desprezível. Assim, as correções de van der Waals desaparecem e a equação reduz-se à equação dos gases ideais.