Questão 10 Exiba uma base de V=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}): c=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço V de \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) formado por todas as matrizes da forma
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}
com a condição c=0. Ou seja, os elementos de V são exatamente as matrizes
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] 0 & d \end{pmatrix},
onde a,b,d\in\mathbb{R} são números reais quaisquer.
O que o enunciado pede: exibir uma base de V (um conjunto de vetores/matrizes que gere V e seja linearmente independente).]

Passo 2

Breve revisão do que é uma base (passando devagar, estilo colega explicando).
  • Dizemos que um conjunto S de vetores (aqui: matrizes) é gerador (ou gera) V se qualquer elemento de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.
  • Dizemos que S é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores de S que dá a matriz zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero.
  • Uma base de V é um conjunto que é ao mesmo tempo gerador e linearmente independente. Mostrar que um conjunto é base envolve duas coisas: mostrar que gera V e mostrar que é independente.
    Vou usar essa definição passo a passo para construir e verificar um candidato a base.

Passo 3

Parametrização do elemento genérico de V. Tomando a,b,d\in\mathbb{R}, qualquer X\in V tem a forma
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}.
Agora escrevo essa matriz como combinação linear de matrizes simples (essas matrizes simples serão os candidatos a formar a base). Observe que
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui os coeficientes da combinação linear são exatamente a, b e d.]

Passo 4

Conclusão parcial: as três matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
geram V, porque qualquer elemento de V é uma combinação linear aE_1+bE_2+dE_3. Então já temos a propriedade de gerar.]

Passo 5

Mostrando que E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes.
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha E_1+\beta E_2+\gamma E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo a soma à esquerda explicitamente:
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\[4pt] 0 & \gamma\end{pmatrix}.
Para essa matriz ser a matriz zero, cada entrada deve ser zero; portanto
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=0.
Como a única possibilidade é \alpha=\beta=\gamma=0, os vetores E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes.]

Passo 6

Concluindo: o conjunto \{E_1,E_2,E_3\} gera V e é linearmente independente, logo é uma base de V. Uma consequência útil: \dim(V)=3. (Fica o incentivo: esse tipo de exercício é sempre sobre identificar entradas livres numa matriz e escolher matrizes-canônicas que tenham 1 numa posição livre e 0 nas outras.)

Resposta

\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \right\}]

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