Questão 10 Exiba uma base de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
de
formado por todas as matrizes da forma
com a condição
. Ou seja, os elementos de
são exatamente as matrizes
onde
são números reais quaisquer.
O que o enunciado pede: exibir uma base de (um conjunto de vetores/matrizes que gere
e seja linearmente independente).]
O que o enunciado pede: exibir uma base de
Passo 2
Breve revisão do que é uma base (passando devagar, estilo colega explicando).
- Dizemos que um conjunto
de vetores (aqui: matrizes) é gerador (ou gera) se qualquer elemento de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . - Dizemos que
é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores de que dá a matriz zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero. - Uma base de
é um conjunto que é ao mesmo tempo gerador e linearmente independente. Mostrar que um conjunto é base envolve duas coisas: mostrar que gera e mostrar que é independente.
Vou usar essa definição passo a passo para construir e verificar um candidato a base.
Passo 3
Parametrização do elemento genérico de
. Tomando
, qualquer
tem a forma
Agora escrevo essa matriz como combinação linear de matrizes simples (essas matrizes simples serão os candidatos a formar a base). Observe que
Aqui os coeficientes da combinação linear são exatamente
,
e
.]
Passo 4
Conclusão parcial: as três matrizes
geram
, porque qualquer elemento de
é uma combinação linear
. Então já temos a propriedade de gerar.]
Passo 5
Mostrando que
são linearmente independentes.
Suponha que existam escalares tais que
Suponha que existam escalares
Escrevendo a soma à esquerda explicitamente:
Para essa matriz ser a matriz zero, cada entrada deve ser zero; portanto
Como a única possibilidade é
, os vetores
são linearmente independentes.]
Passo 6
Concluindo: o conjunto
gera
e é linearmente independente, logo é uma base de
. Uma consequência útil:
. (Fica o incentivo: esse tipo de exercício é sempre sobre identificar entradas livres numa matriz e escolher matrizes-canônicas que tenham 1 numa posição livre e 0 nas outras.)