Encontre a equação da reta que passa pela interseção de L_{1}: 2 x-y=1 e L_{2}: 3 x+4 y=2, e que é perpendicular à reta 4 x+5 y=3.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a equação da reta que passa pelo ponto de interseção de L_{1}: 2x-y=1 e L_{2}: 3x+4y=2.
  • Essa reta deve ser perpendicular à reta 4x+5y=3.
Informações dadas:
  • As equações das duas retas cujos coeficientes estão explicitados acima.
  • A condição de perpendicularidade em relação a 4x+5y=3.

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção de L_{1} e L_{2}.
Da reta L_{1} isolamos y:
y = 2x-1.
Substituímos em L_{2}:
3x+4y=2 \quad\Rightarrow\quad 3x+4(2x-1)=2.
Calcule passo a passo:
3x+8x-4=2,
11x-4=2,
11x=6,
x=\frac{6}{11}.
Agora y:
y=2x-1=2\cdot\frac{6}{11}-1=\frac{12}{11}-\frac{11}{11}=\frac{1}{11}.
Logo o ponto de interseção é P\left(\frac{6}{11},\frac{1}{11}\right).

Passo 3

Determinar o coeficiente angular (inclinação) da reta 4x+5y=3.
Para uma reta na forma geral Ax+By=C, a inclinação m é
m=-\frac{A}{B},
pois ao isolar y obtém-se y=-\frac{A}{B}x+\frac{C}{B}.
Aplicando a 4x+5y=3:
m=-\frac{4}{5}.

Passo 4

Encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular.
A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do recíproco da inclinação original. Se m é a inclinação dada, a inclinação perpendicular m_{\perp} é
m_{\perp}=-\frac{1}{m}.
Como m=-\frac{4}{5}, temos
m_{\perp}=-\frac{1}{-\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}.
Portanto a reta procurada tem inclinação m_{\perp}=\frac{5}{4}.

Passo 5

Escrever a equação da reta que passa por P\left(\frac{6}{11},\frac{1}{11}\right) com inclinação \frac{5}{4} usando a forma ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=\frac{6}{11}, y_0=\frac{1}{11} e m=\frac{5}{4}:
y-\frac{1}{11}=\frac{5}{4}\left(x-\frac{6}{11}\right).
Agora transformamos essa equação em uma forma com coeficientes inteiros (multiplicando para eliminar denominadores). Multiplicamos ambos os lados por 44 (múltiplo de 11 e 4):
44\left(y-\frac{1}{11}\right)=44\cdot\frac{5}{4}\left(x-\frac{6}{11}\right).
Calculando cada lado:
44y-4=55\left(x-\frac{6}{11}\right)=55x-30.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
44y-4-55x+30=0,
-55x+44y+26=0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo de x:
55x-44y-26=0.

Passo 6

Checagem rápida (substituição do ponto P na equação final):
55\cdot\frac{6}{11}-44\cdot\frac{1}{11}-26=30-4-26=0,
confirma que o ponto pertence à reta encontrada.

Resposta

55x-44y-26=0

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