Encontre a equação da reta que passa pela interseção de
e
, e que é perpendicular à reta
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar a equação da reta que passa pelo ponto de interseção de
e . - Essa reta deve ser perpendicular à reta
.
Informações dadas:
- As equações das duas retas cujos coeficientes estão explicitados acima.
- A condição de perpendicularidade em relação a
.
Passo 2
Encontrar o ponto de interseção de
e
.
Da reta
isolamos
:
Substituímos em
:
Calcule passo a passo:
Agora
:
Logo o ponto de interseção é
.
Passo 3
Determinar o coeficiente angular (inclinação) da reta
.
Para uma reta na forma geral
, a inclinação
é
pois ao isolar
obtém-se
.
Aplicando a
:
Passo 4
Encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular.
A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do recíproco da inclinação original. Se
é a inclinação dada, a inclinação perpendicular
é
Como
, temos
Portanto a reta procurada tem inclinação
.
Passo 5
Escrever a equação da reta que passa por
com inclinação
usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Agora transformamos essa equação em uma forma com coeficientes inteiros (multiplicando para eliminar denominadores). Multiplicamos ambos os lados por
(múltiplo de
e
):
Calculando cada lado:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Multiplicando por
para ficar com coeficiente positivo de
:
Passo 6
Checagem rápida (substituição do ponto
na equação final):
confirma que o ponto pertence à reta encontrada.