Determine a equação da reta com as características dadas.
(e) Forma com a reta x-y=1 um ângulo cuja tangente é \frac{1}{2} e passa pela origem.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede: determinar a equação da(s) reta(s) que passam pela origem e que formam com a reta x-y=1 um ângulo cuja tangente vale \tfrac{1}{2}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A reta dada é x-y=1.
A reta procurada passa pela origem.
A tangente do ângulo formado entre as duas retas é \tfrac{1}{2}.
Passo 2
Entendendo como medir o ângulo entre retas e a fórmula que vamos usar (aula rapidinha):
Cada reta não vertical tem uma inclinação (ou coeficiente angular) m, que é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Ou seja, se uma reta faz ângulo \varphi com o eixo x, então m=\tan\varphi.
Se uma reta tem inclinação m_1 e outra tem inclinação m_2, a tangente do ângulo entre elas é dada pela fórmula (diferença de ângulos):
As barras |\cdot| indicam valor absoluto, porque a tangente do ângulo entre retas é positiva para o ângulo agudo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Primeiro obtemos a inclinação da reta dada x-y=1. Reescrevendo em forma y= (para ler o coeficiente angular):
x-y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=x-1.
Logo a inclinação dessa reta é \;m_1=1.
Seja m a inclinação da reta que procuramos (essa reta passa pela origem, então sua equação será y=mx, mas guardamos a equação final para a seção de resposta).
A condição sobre a tangente do ângulo é
\left|\frac{m- m_1}{1+m\,m_1}\right|=\frac{1}{2}.
Substituindo m_1=1 obtemos
\left|\frac{m-1}{1+m}\right|=\frac{1}{2}.
Passo 4
Resolver a equação com valor absoluto (dois casos) e explicar cada passo de álgebra: