Determine a equação da reta com as características dadas.
(e) Forma com a reta x-y=1 um ângulo cuja tangente é \frac{1}{2} e passa pela origem.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: determinar a equação da(s) reta(s) que passam pela origem e que formam com a reta x-y=1 um ângulo cuja tangente vale \tfrac{1}{2}.
  • Dados relevantes extraídos do enunciado:
    • A reta dada é x-y=1.
    • A reta procurada passa pela origem.
    • A tangente do ângulo formado entre as duas retas é \tfrac{1}{2}.

Passo 2

Entendendo como medir o ângulo entre retas e a fórmula que vamos usar (aula rapidinha):
  • Cada reta não vertical tem uma inclinação (ou coeficiente angular) m, que é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Ou seja, se uma reta faz ângulo \varphi com o eixo x, então m=\tan\varphi.
  • Se uma reta tem inclinação m_1 e outra tem inclinação m_2, a tangente do ângulo entre elas é dada pela fórmula (diferença de ângulos):
\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|.
Aqui:
  • \theta é o ângulo agudo entre as retas;
  • m_1 e m_2 são as inclinações das retas;
  • As barras |\cdot| indicam valor absoluto, porque a tangente do ângulo entre retas é positiva para o ângulo agudo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Primeiro obtemos a inclinação da reta dada x-y=1. Reescrevendo em forma y= (para ler o coeficiente angular):
x-y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=x-1.
Logo a inclinação dessa reta é \;m_1=1.
  • Seja m a inclinação da reta que procuramos (essa reta passa pela origem, então sua equação será y=mx, mas guardamos a equação final para a seção de resposta).
  • A condição sobre a tangente do ângulo é
\left|\frac{m- m_1}{1+m\,m_1}\right|=\frac{1}{2}.
Substituindo m_1=1 obtemos
\left|\frac{m-1}{1+m}\right|=\frac{1}{2}.

Passo 4

Resolver a equação com valor absoluto (dois casos) e explicar cada passo de álgebra:
  • Caso A: sem o valor absoluto positivo,
\frac{m-1}{1+m}=\frac{1}{2}.
Multiplicando cruzado:
2(m-1)=1+m.
Desenvolvendo:
2m-2=1+m \quad\Longrightarrow\quad 2m-m=1+2 \quad\Longrightarrow\quad m=3.
  • Caso B: o outro sinal do valor absoluto,
\frac{m-1}{1+m}=-\frac{1}{2}.
Multiplicando cruzado:
2(m-1)=-1-m.
Desenvolvendo:
2m-2=-1-m \quad\Longrightarrow\quad 2m+m=-1+2 \quad\Longrightarrow\quad 3m=1 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{3}.
  • Verificação rápida (cheque mental): para m=3,
\frac{m-1}{1+m}=\frac{3-1}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};
para m=\tfrac{1}{3},
\frac{m-1}{1+m}=\frac{\tfrac{1}{3}-1}{1+\tfrac{1}{3}}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{4}{3}}=-\tfrac{1}{2},
cujo valor absoluto é \tfrac{1}{2}. Ambos satisfazem a condição.

Passo 5

Interpretando o resultado de forma prática para escrever as equações das retas que passam pela origem:
  • Se a inclinação é m, a reta que passa pela origem tem equação y=mx.
  • Encontramos duas inclinações possíveis: m=3 e m=\tfrac{1}{3}.
  • As duas retas procuradas são, portanto, as retas com essas inclinações que passam pela origem.

Resposta

y=3x
y=\tfrac{1}{3}x

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