Questão 10:
Explique como se determina o ângulo de torção na seção circular submetida a torção.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo de torção phi de uma barra de seção circular e comprimento L quando submetida a um torque (momento torçor) T. O conteúdo envolve a teoria de Saint-Venant para torção em vigas, em que usamos o módulo de cisalhamento G do material e o momento polar de inércia da seção J.

Passo 2

Adotamos as hipóteses de Saint-Venant: as seções transversais, embora sofram rotação, permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro, e a variação dessa rotação varphi(x) ao longo do eixo x é suave. Definimos então a rotação por unidade de comprimento
dvarphidx,

Passo 3

Considere um ponto da seção a uma distância r do centro. A deformação de cisalhamento ali é
gamma(r)=r,dvarphidx,,
e a tensão de cisalhamento resultante é
tau(r)=G,gamma(r)=G,r,dvarphidx,

Passo 4

O torque interno equilibrando T é obtido integrando a tensão vezes seu braço de alavanca sobre a área A:
T=integralAtau(r),r,dA =integralAG,r,dvarphidx,r,dA =G,dvarphidxintegralAr^2,dA =G,J,dvarphidx,

Passo 5

Isolando a derivada de rotação:
dvarphidx=TGJ,
Integrando de x=0 até x=L para obter o ângulo total de torção phi:
phi=integral0^LTGJ,dx =T,LGJ,
Para seção circular de raio R vale
J=integralAr^2,dA=pi R^42,

Resposta

O ângulo de torção é
phi=T,LG,J,,
sendo para seção circular de raio R
J=pi R^42,

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