Condição de contorno dada no enunciado: u(4,t)=0 para t\ge0. No entanto o domínio em r é 0<r<1, então presumimos que houve um erro de digitação e que a condição correta é a condição de contorno em r=1:
u(1,t)=0,\qquad t\ge0.
(Adotarei esta correção; sem ela o problema fica inconsistente.)
Condições iniciais:
u(r,0)=1-r^{2},\qquad 0\le r\le1,
u_{t}(r,0)=0,\qquad 0\le r\le1.
Observação importante que uso a partir do enunciado: a equação não contém derivadas em \theta e as condições não dependem de \theta, portanto vamos buscar soluções radiais (independentes de \theta): u=u(r,t).
Passo 2
Estratégia geral (sem entrar em detalhes ainda): procurar solução por separação de variáveis numa expansão em autovalores radiais. Agora começo a separar as variáveis.
onde \lambda é constante de separação (escolhi o sinal menos para obter modos oscilatórios no tempo). Assim obtemos dois ODEs:
T''(t)+c^{2}\lambda T(t)=0,
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\lambda R(r)=0.
Passo 3
Interpretando a equação radial: a equação
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\lambda R(r)=0
é a equação de Bessel de ordem zero se fizermos a substituição usual \lambda=k^{2} com k\ge0. Ou seja
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+k^{2}R(r)=0.
As soluções gerais dessa equação são combinações das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero:
R(r)=A J_{0}(k r)+B Y_{0}(k r).
Para que u(r,t) seja regular em r=0 (não podemos ter singularidade física no centro), devemos ter B=0, pois Y_{0}(z) diverge em z=0. Logo os modos físicos são
R(r)=A J_{0}(k r).
Passo 4
Condição no contorno r=1: como u(1,t)=0 para todo t, precisamos de R(1)=0. Assim
J_{0}(k\cdot 1)=0.
Portanto k deve ser um zero positivo de J_{0}. Denotemos por k_{n}=j_{0,n} o n-ésimo zero positivo de J_{0} (por exemplo j_{0,1}\approx2{,}4048,\; j_{0,2}\approx5{,}5201, etc.). Cada k_{n} gera um modo radial
Montando a série completa: pela linearidade e completude dos modos de Bessel (com peso r na ortogonalidade), a solução geral (radial) é uma soma sobre modos:
Rearranjando e integrando por partes cuidadosamente (os termos em r\to0 são regulares e se anulam), chega-se à expressão (mostro passo a passo a simplificação):
onde k_{n}=j_{0,n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0} e J_{1} é a função de Bessel de ordem 1.
Passo 14
Pequenas observações práticas para a prova (dicas rápidas e motivação):
A ideia é sempre separar variáveis e reconhecer a equação radial como equação de Bessel de ordem zero.
Modos regulares em r=0 usam J_{0} (não usar Y_{0} pois é singular em 0).
A condição de contorno R(1)=0 gera autovalores iguais aos zeros de J_{0}.
Para obter os coeficientes, usar a ortogonalidade com peso r e as identidades padrão para integrais envolvendo J_{0} e J_{1}. No cálculo do numerador pode surgir uma integral mais trabalhosa, mas usar a EDO de Bessel e integração por partes resolve sem muita dor.
Se precisar de valores numéricos, basta substituir k_{n}=j_{0,n} por seus valores tabulados e calcular J_{1}(k_{n}).