Questão 10.
\left\{\begin{array}{lll} u_{t t}=c^{2}\left(u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}\right) & 0<r<1 \quad, \quad 0<\theta<2 \pi \quad \text { e } \quad t>0 \\\ u(4, t)=0 & t \geq 0 & \\\ u(r, 0)=1-r^{2} & 0 \leq r \leq 1 & \\\ u_{t}(r, 0)=0 & 0 \leq r \leq 1 & \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (e fazer uma pequena correção necessária para a coerência do problema).
  • Equação de ondas em coordenadas radiais (assumindo dependência apenas em r e t):
u_{t t}=c^{2}\left(u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}\right),\qquad 0<r<1,\quad 0<\theta<2\pi,\quad t>0.
  • Condição de contorno dada no enunciado: u(4,t)=0 para t\ge0. No entanto o domínio em r é 0<r<1, então presumimos que houve um erro de digitação e que a condição correta é a condição de contorno em r=1:
u(1,t)=0,\qquad t\ge0.
(Adotarei esta correção; sem ela o problema fica inconsistente.)
  • Condições iniciais:
u(r,0)=1-r^{2},\qquad 0\le r\le1,
u_{t}(r,0)=0,\qquad 0\le r\le1.
  • Observação importante que uso a partir do enunciado: a equação não contém derivadas em \theta e as condições não dependem de \theta, portanto vamos buscar soluções radiais (independentes de \theta): u=u(r,t).

Passo 2

Estratégia geral (sem entrar em detalhes ainda): procurar solução por separação de variáveis numa expansão em autovalores radiais. Agora começo a separar as variáveis.
Proponho uma solução do tipo
u(r,t)=R(r)\,T(t).
Substituindo na equação de ondas:
R(r)T''(t)=c^{2}\left(R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)\right)T(t).
Dividindo por c^{2}R(r)T(t) (assumindo R e T não nulos),
\frac{T''(t)}{c^{2}T(t)}=\frac{R''(r)+\tfrac{1}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação (escolhi o sinal menos para obter modos oscilatórios no tempo). Assim obtemos dois ODEs:
T''(t)+c^{2}\lambda T(t)=0,
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\lambda R(r)=0.

Passo 3

Interpretando a equação radial: a equação
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\lambda R(r)=0
é a equação de Bessel de ordem zero se fizermos a substituição usual \lambda=k^{2} com k\ge0. Ou seja
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+k^{2}R(r)=0.
As soluções gerais dessa equação são combinações das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero:
R(r)=A J_{0}(k r)+B Y_{0}(k r).
Para que u(r,t) seja regular em r=0 (não podemos ter singularidade física no centro), devemos ter B=0, pois Y_{0}(z) diverge em z=0. Logo os modos físicos são
R(r)=A J_{0}(k r).

Passo 4

Condição no contorno r=1: como u(1,t)=0 para todo t, precisamos de R(1)=0. Assim
J_{0}(k\cdot 1)=0.
Portanto k deve ser um zero positivo de J_{0}. Denotemos por k_{n}=j_{0,n} o n-ésimo zero positivo de J_{0} (por exemplo j_{0,1}\approx2{,}4048,\; j_{0,2}\approx5{,}5201, etc.). Cada k_{n} gera um modo radial
R_{n}(r)=J_{0}(k_{n} r).
A parte temporal correspondente satisfaz
T_{n}''(t)+c^{2}k_{n}^{2}T_{n}(t)=0,
cuja solução geral é
T_{n}(t)=\alpha_{n}\cos(c k_{n} t)+\beta_{n}\sin(c k_{n} t).

Passo 5

Montando a série completa: pela linearidade e completude dos modos de Bessel (com peso r na ortogonalidade), a solução geral (radial) é uma soma sobre modos:
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(A_{n}\cos(c k_{n} t)+B_{n}\sin(c k_{n} t)\big)J_{0}(k_{n} r).
Agora usamos as condições iniciais para determinar A_{n} e B_{n}.

Passo 6

Condição inicial em velocidade: u_{t}(r,0)=0 implica
\sum_{n=1}^{\infty} c k_{n}(-A_{n})\sin(0) + c k_{n} B_{n}\cos(0) \; J_{0}(k_{n} r)=0,
ou seja
\sum_{n=1}^{\infty} c k_{n} B_{n} J_{0}(k_{n} r)=0.
Pela ortogonalidade dos modos isso implica B_{n}=0 para todo n. Logo permanecem apenas os termos em cosseno:
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\cos(c k_{n} t)\,J_{0}(k_{n} r).

Passo 7

Condição inicial em posição: u(r,0)=1-r^{2}
1-r^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} J_{0}(k_{n} r).
Para achar A_{n} usamos a ortogonalidade dos autovetores J_{0}(k_{n}r) com peso r no intervalo [0,1]. A ortogonalidade e a norma são:
\int_{0}^{1} r\,J_{0}(k_{n} r)\,J_{0}(k_{m} r)\,dr=0\quad (n\ne m),
e
\int_{0}^{1} r\,\big(J_{0}(k_{n} r)\big)^{2}dr=\frac{1}{2}\big(J_{1}(k_{n})\big)^{2}.
(Esta última é uma identidade padrão para zeros de J_{0}.)
Multiplicando a expansão por r J_{0}(k_{n} r) e integrando de 0 a 1, obtemos
\int_{0}^{1} r(1-r^{2})J_{0}(k_{n} r)\,dr = A_{n}\int_{0}^{1} r\big(J_{0}(k_{n} r)\big)^{2}dr.
Portanto
A_{n}=\frac{\displaystyle\int_{0}^{1} r(1-r^{2})J_{0}(k_{n} r)\,dr}{\displaystyle\int_{0}^{1} r\big(J_{0}(k_{n} r)\big)^{2}dr} =\frac{2\displaystyle\int_{0}^{1} r(1-r^{2})J_{0}(k_{n} r)\,dr}{\big(J_{1}(k_{n})\big)^{2}}.

Passo 8

Calcular o numerador N_{n}=\int_{0}^{1} r(1-r^{2})J_{0}(k r)\,dr explicitamente (aqui k=k_{n}). Separe em duas integrais:
N = \int_{0}^{1} rJ_{0}(k r)\,dr - \int_{0}^{1} r^{3}J_{0}(k r)\,dr.
Chamemos
I_{1}=\int_{0}^{1} rJ_{0}(k r)\,dr,\qquad I_{2}=\int_{0}^{1} r^{3}J_{0}(k r)\,dr.
Usamos identidades para I_{1} e para I_{2}.
  • Para I_{1} há uma identidade direta:
I_{1}=\int_{0}^{1} rJ_{0}(k r)\,dr=\frac{J_{1}(k)}{k}.
(É uma integral padrão: \int x J_{0}(a x)\,dx = x J_{1}(a x)/a avaliada de 0 a 1.)

Passo 9

Agora calculamos I_{2}=\int_{0}^{1} r^{3}J_{0}(k r)\,dr usando a equação diferencial satisfeita por f(r)=J_{0}(k r):
f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)+k^{2}f(r)=0.
Multiplicando por r^{3} e integrando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} r^{3}f''(r)\,dr+\int_{0}^{1} r^{2}f'(r)\,dr + k^{2}\int_{0}^{1} r^{3}f(r)\,dr =0.
Rearranjando e integrando por partes cuidadosamente (os termos em r\to0 são regulares e se anulam), chega-se à expressão (mostro passo a passo a simplificação):
  • Primeiro, \int_{0}^{1} r^{3}f''(r)\,dr = [r^{3}f'(r)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}3r^{2}f'(r)\,dr.
  • Então somando \int_{0}^{1} r^{2}f'(r)\,dr obtemos [r^{3}f']_{0}^{1}-2\int_{0}^{1} r^{2}f'(r)\,dr.
  • Agora \int_{0}^{1} r^{2}f'(r)\,dr=[r^{2}f]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}2r f(r)\,dr.
Substituindo tudo e lembrando que f(r)=J_{0}(k r), f'(r)=kJ_{0}'(k r)= -k J_{1}(k r) (pois J_{0}'(z)=-J_{1}(z)), obtemos
I_{2}=\frac{k J_{1}(k)+2 J_{0}(k)-4 I_{1}}{k^{2}}.
(Substituições: [r^{3}f']_{0}^{1}=f'(1)= -k J_{1}(k) e [r^{2}f]_{0}^{1}=J_{0}(k).)

Passo 10

Substituindo I_{1}=\dfrac{J_{1}(k)}{k} dentro da expressão de I_{2}:
I_{2}=\frac{k J_{1}(k)+2 J_{0}(k)-4\dfrac{J_{1}(k)}{k}}{k^{2}} =\frac{k J_{1}(k)+2 J_{0}(k)}{k^{2}}-\frac{4J_{1}(k)}{k^{3}}.
Agora o numerador buscado é
N=I_{1}-I_{2}=\frac{J_{1}(k)}{k}-\left(\frac{k J_{1}(k)+2 J_{0}(k)}{k^{2}}-\frac{4J_{1}(k)}{k^{3}}\right).
Colocando tudo sobre o denominador k^{3} e simplificando obtemos (passos algébricos diretos)
N=\frac{4J_{1}(k)-2k J_{0}(k)}{k^{3}} = \frac{2\big(2J_{1}(k)-k J_{0}(k)\big)}{k^{3}}.

Passo 11

Lembrando que k=k_{n} é um zero de J_{0}, ou seja J_{0}(k_{n})=0, a expressão para N simplifica muito:
N_{n}=\frac{4J_{1}(k_{n})}{k_{n}^{3}}.
Agora a norma (denominador) já foi dada:
\int_{0}^{1} r\big(J_{0}(k_{n} r)\big)^{2}dr=\frac{1}{2}\big(J_{1}(k_{n})\big)^{2}.

Passo 12

Logo o coeficiente A_{n} fica
A_{n}=\frac{N_{n}}{\dfrac{1}{2}\big(J_{1}(k_{n})\big)^{2}} =\frac{\dfrac{4J_{1}(k_{n})}{k_{n}^{3}}}{\dfrac{1}{2}\big(J_{1}(k_{n})\big)^{2}} =\frac{8}{k_{n}^{3} J_{1}(k_{n})}.
Note que essa simplificação usou crucialmente J_{0}(k_{n})=0.

Passo 13

Portanto a solução da condição inicial (modo radial, com a correção u(1,t)=0) é a série
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{k_{n}^{3} J_{1}(k_{n})}\,J_{0}(k_{n} r)\,\cos(c k_{n} t),
onde k_{n}=j_{0,n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0} e J_{1} é a função de Bessel de ordem 1.

Passo 14

Pequenas observações práticas para a prova (dicas rápidas e motivação):
  • A ideia é sempre separar variáveis e reconhecer a equação radial como equação de Bessel de ordem zero.
  • Modos regulares em r=0 usam J_{0} (não usar Y_{0} pois é singular em 0).
  • A condição de contorno R(1)=0 gera autovalores iguais aos zeros de J_{0}.
  • Para obter os coeficientes, usar a ortogonalidade com peso r e as identidades padrão para integrais envolvendo J_{0} e J_{1}. No cálculo do numerador pode surgir uma integral mais trabalhosa, mas usar a EDO de Bessel e integração por partes resolve sem muita dor.
  • Se precisar de valores numéricos, basta substituir k_{n}=j_{0,n} por seus valores tabulados e calcular J_{1}(k_{n}).

Resposta

u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{k_{n}^{3}J_{1}(k_{n})}\,J_{0}(k_{n}r)\,\cos\big(c k_{n} t\big),
onde k_{n}=j_{0,n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0}.

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