Veja se é possível aplicar o método de separação de variáveis, se for possível escreva a forma da solução
\quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}
e pede para verificar se é possível aplicar o método de separação de variáveis; se for possível, escrever a forma da solução.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função u(x,y).
  • A equação relaciona as derivadas parciais de u em x e em y.
  • Não há condições de contorno ou valores iniciais fornecidos — só a equação.

Passo 2

Tentar separação multiplicativa: suponha uma solução do tipo u(x,y)=X(x)\,Y(y), com X função só de x e Y função só de y. Então as derivadas parciais são
\frac{\partial u}{\partial x}=X'(x)Y(y),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=X(x)Y'(y).
Substituindo na equação dada,
X'(x)Y(y)=X(x)Y'(y).
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y) (assumindo X,Y\neq0),
\frac{X'(x)}{X(x)}=\frac{Y'(y)}{Y(y)}.
Explicação didática: o lado esquerdo depende apenas de x e o lado direito depende apenas de y. Para que essa igualdade valha para todos x e y, ambas as expressões devem ser iguais a uma mesma constante, digamos \lambda. Assim obtemos duas equações ordinárias:
\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda,\qquad \frac{Y'(y)}{Y(y)}=\lambda.
São ODEs simples de primeira ordem; suas soluções gerais são
X(x)=A\,e^{\lambda x},\qquad Y(y)=B\,e^{\lambda y},
onde A e B são constantes. Portanto a solução separada multiplicativa tem a forma
u(x,y)=C\,e^{\lambda(x+y)},\qquad C=AB.
Comentário: para cada constante \lambda e constante C obtém-se uma solução explícita. Essas soluções exponenciais dependem apenas da soma x+y.

Passo 3

Tentar separação aditiva: suponha u(x,y)=X(x)+Y(y). Então
\frac{\partial u}{\partial x}=X'(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=Y'(y).
A equação X'(x)=Y'(y) implica que ambas as derivadas são iguais a uma constante, digamos \mu. Assim
X(x)=\mu x+a,\qquad Y(y)=\mu y+b,
com a,b constantes, e
u(x,y)=\mu(x+y)+(a+b).
Observação: isto é um caso especial (linear) da dependência apenas de x+y.

Passo 4

Mostrar a forma geral da solução (argumento direto e rigoroso): faça a mudança de variáveis
s=x+y,\qquad r=x-y.
Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial s}+\frac{\partial}{\partial r},\qquad \frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial r}.
Aplicando na função u(x,y)=v(s,r) e usando a equação original \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}, obtemos
\frac{\partial v}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial s}-\frac{\partial v}{\partial r}.
Isto reduz a
\frac{\partial v}{\partial r}=0.
Portanto v não depende de r e depende apenas de s. Voltando às variáveis originais,
u(x,y)=F(s)=F(x+y),
onde F é uma função arbitrária de uma variável, suficientemente suave para que as derivadas existam. Verificação rápida: se u(x,y)=F(x+y) então
\frac{\partial u}{\partial x}=F'(x+y)=\frac{\partial u}{\partial y},
logo qualquer F(x+y) é solução.

Passo 5

Interpretação final e relação com separação: a técnica de separação multiplicativa produziu soluções elementares u(x,y)=C\,e^{\lambda(x+y)}, e a separação aditiva produziu soluções lineares em x+y. A solução geral da equação é a família de todas as funções que dependem apenas da soma x+y. Em termos práticos para a prova: ao ver \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}, pense imediatamente que a solução geral é u(x,y)=F(x+y). Isso engloba as soluções obtidas por separação de variáveis e é a resposta completa.

Resposta

u(x,y)=F(x+y), onde F é uma função arbitrária (diferenciável) de uma variável.

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