Veja se é possível aplicar o método de separação de variáveis, se for possível escreva a forma da solução
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede para verificar se é possível aplicar o método de separação de variáveis; se for possível, escrever a forma da solução.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona as derivadas parciais de
em e em . - Não há condições de contorno ou valores iniciais fornecidos — só a equação.
Passo 2
Tentar separação multiplicativa: suponha uma solução do tipo
, com
função só de
e
função só de
. Então as derivadas parciais são
Substituindo na equação dada,
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
),
Explicação didática: o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. Para que essa igualdade valha para todos
e
, ambas as expressões devem ser iguais a uma mesma constante, digamos
. Assim obtemos duas equações ordinárias:
São ODEs simples de primeira ordem; suas soluções gerais são
onde
e
são constantes. Portanto a solução separada multiplicativa tem a forma
Comentário: para cada constante
e constante
obtém-se uma solução explícita. Essas soluções exponenciais dependem apenas da soma
.
Passo 3
Tentar separação aditiva: suponha
. Então
A equação
implica que ambas as derivadas são iguais a uma constante, digamos
. Assim
com
constantes, e
Observação: isto é um caso especial (linear) da dependência apenas de
.
Passo 4
Mostrar a forma geral da solução (argumento direto e rigoroso): faça a mudança de variáveis
Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
Aplicando na função
e usando a equação original
, obtemos
Isto reduz a
Portanto
não depende de
e depende apenas de
. Voltando às variáveis originais,
onde
é uma função arbitrária de uma variável, suficientemente suave para que as derivadas existam. Verificação rápida: se
então
logo qualquer
é solução.
Passo 5
Interpretação final e relação com separação: a técnica de separação multiplicativa produziu soluções elementares
, e a separação aditiva produziu soluções lineares em
. A solução geral da equação é a família de todas as funções que dependem apenas da soma
. Em termos práticos para a prova: ao ver
, pense imediatamente que a solução geral é
. Isso engloba as soluções obtidas por separação de variáveis e é a resposta completa.