Questão 1.

\left\{\begin{array}{lll} u_{x x}+u_{y y}=0 & 0<x<1 & \text { e } 0<y<2 \\\ u(x, 0)=x^{3}, u(x, 2)=0 & 0 \leq x \leq 1 & \\\ u(0, y)=0, u(1, y)=0 & 0 \leq y \leq 2 & \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de Dirichlet para a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<1,\;0<y<2
com as condições de contorno
u(x,0)=x^3,\quad u(x,2)=0,\quad u(0,y)=0,\quad u(1,y)=0.
O método é separação de variáveis e expansão da condição u(x,0)=x^3 em série de senos em x.

Passo 2

Procuramos soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Plugando em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY vem
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda.
Como u(0,y)=u(1,y)=0 precisamos de X(0)=X(1)=0, o que leva aos autovalores \lambda=(n\pi)^2 e autofunções
X_n(x)=\sin(n\pi x),\quad n=1,2,\dots

Passo 3

Para cada n a equação em y é
Y_n''-(n\pi)^2\,Y_n=0,
cuja solução geral é combinação de exponenciais reais. Impor u(x,2)=0 para todo x obriga
Y_n(2)=0\quad\Longrightarrow\quad Y_n(y)=A_n\,\operatorname{sinh}\bigl(n\pi(2-y)\bigr).
Normalizamos escrevendo
Y_n(y)=B_n\,\frac{\operatorname{sinh}\bigl(n\pi(2-y)\bigr)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)},
onde o B_n virá de ajustar a condição em y=0.

Passo 4

Em y=0 temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty B_n\,\frac{\operatorname{sinh}(2n\pi)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\sin(n\pi x) =\sum_{n=1}^\infty B_n\sin(n\pi x)\overset!=x^3.
Ou seja, x^3 deve ser expandido em série de senos:
x^3=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin(n\pi x),\quad B_n=2\int_0^1 x^3\sin(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes três vezes obtém‐se
\int_0^1 x^3\sin(n\pi x)\,dx =(-1)^n\Bigl(-\frac1{n\pi}+\frac{6}{n^3\pi^3}\Bigr),
logo
B_n=2(-1)^n\Bigl(-\frac1{n\pi}+\frac{6}{n^3\pi^3}\Bigr) =2(-1)^n\Bigl(\frac{6}{n^3\pi^3}-\frac1{n\pi}\Bigr).

Passo 5

Montando tudo, a solução do problema é
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty B_n\, \frac{\operatorname{sinh}\bigl(n\pi(2-y)\bigr)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\, \sin(n\pi x),
com
B_n=2(-1)^n\Bigl(\frac{6}{n^3\pi^3}-\frac1{n\pi}\Bigr).

Resposta

\boxed{ u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty 2(-1)^n\Bigl(\frac{6}{n^3\pi^3}-\frac1{n\pi}\Bigr) \, \frac{\operatorname{sinh}\bigl(n\pi(2-y)\bigr)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)} \sin(n\pi x) }.

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