Questão 1.
Passo 1
O enunciado dá o problema de Dirichlet para a equação de Laplace
com as condições de contorno
O método é separação de variáveis e expansão da condição
em série de senos em
.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
Plugando em
e dividindo por
vem
Como
precisamos de
, o que leva aos autovalores
e autofunções
Passo 3
Para cada
a equação em
é
cuja solução geral é combinação de exponenciais reais. Impor
para todo
obriga
Normalizamos escrevendo
onde o
virá de ajustar a condição em
.
Passo 4
Em
temos
Ou seja,
deve ser expandido em série de senos:
Fazendo integração por partes três vezes obtém‐se
logo
Passo 5
Montando tudo, a solução do problema é
com