Questão 10 Mostrar que, para todo inteiro n \geq 1, o número 5^{n}-5 é múltiplo de 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge1, o número 5^n - 5 é divisível por 4. O conteúdo principal é aritmética modular e divisibilidade: vamos usar congruências para provar que 4 divide 5^n - 5.

Passo 2

Primeiro, note que
5 \equiv 1 \pmod{4}
pois 5 - 1 = 4. Elevando ambos os lados à potência n, obtemos
5^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{4}.
Como também 5\equiv1\pmod4, subtraindo essas duas congruências vem
5^n - 5 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4},
o que significa exatamente que 4 divide 5^n - 5.

Resposta

Para todo inteiro n\ge1, o número 5^n - 5 é múltiplo de 4.

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