(2 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
x \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{\sin x}{x}, \quad y(2)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{\sin x}{x},\quad y(2)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo x\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = \frac{\sin x}{x^2}.
Aqui P(x)=\tfrac{2}{x} e Q(x)=\tfrac{\sin x}{x^2}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|x|\bigr) = x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x^2, fica
x^2\frac{dy}{dx} + 2x\,y = \sin x.
O lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dx}(x^2 y), logo
\frac{d}{dx}(x^2 y) = \sin x.
Integrando em x,
x^2 y = \int \sin x\,dx + C = -\cos x + C.
Assim a solução geral é
y(x) = \frac{-\cos x + C}{x^2}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(2)=1:
1 = \frac{-\cos(2) + C}{2^2} \;\Longrightarrow\; -\,\cos(2) + C = 4 \;\Longrightarrow\; C = 4 + \cos(2).
Então a solução particular é
y(x) = \frac{-\cos x + 4 + \cos(2)}{x^2}.

Resposta

y(x) = \frac{4 + \cos(2) - \cos(x)}{x^2}.

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