(2 pontos) Verifique se a equaçũo dada é exata, depois resolva.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas: precisamos identificar
e checar se
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para resolver, buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora impomos
Da igualdade segue
, logo
, constante.
Passo 5
A solução implícita geral é dada por
com
constante arbitrária.