(2 pontos) Verifique se a equaçũo dada é exata, depois resolva.
\left(2 x y^{2}+2 y\right) d x+\left(2 x^{2} y+2 x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(2 x y^{2}+2 y\bigr)\,dx + \bigl(2 x^{2} y+2 x\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas: precisamos identificar
M(x,y)=2 x y^{2}+2 y, \quad N(x,y)=2 x^{2} y+2 x
e checar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y^{2}+2 y\bigr) =4 x y +2,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2 x^{2} y+2 x\bigr) =4 x y +2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para resolver, buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int \bigl(2 x y^{2}+2 y\bigr)\,dx = x^{2}y^{2} + 2xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2} + 2xy + h(y)\bigr) =2x^{2}y + 2x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y)=2x^{2}y+2x.
Da igualdade segue h'(y)=0, logo h(y)=C, constante.

Passo 5

A solução implícita geral é dada por
F(x,y)=x^{2}y^{2}+2xy = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{2}y^{2} + 2xy = C.

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