O momento angular orbital L de uma particula é dado por L=r times p=m r times v, em que p é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por v=omega times r, mostre que
L=m r^2[omega-r(r cdot omega)]
Para r cdot omega=0, isso se reduz a L=I omega, com o momento de inércia I dado por m r^2.

Passo 1

O enunciado dá o momento angular orbital
L=rtimesp=m,rtimesv
e relaciona a velocidade linear à velocidade angular por
v=omegatimesr
O objetivo é substituir v e usar a identidade de produto vetorial triplo para expressar L em termos de omega, r e hat r.

Passo 2

Substituindo v na expressão de L, temos
L=m,rtimes(omegatimesr)
Agora precisamos aplicar a identidade de produto vetorial triplo:
atimes(btimesc)=b,(acdotc)-c,(acdotb)

Passo 3

Identificando a=r, b=omega e c=r, a identidade fica
rtimes(omegatimesr)=omega,(rcdotr)-r,(rcdotomega)
Como rcdotr=r^2, isso vira
rtimes(omegatimesr)=r^2,omega-r,(rcdotomega)

Passo 4

Multiplicando por m, obtemos
L=ml(r^2,omega-r,(rcdotomega)r)
Para extrair hat r, note que r=r,hat r e portanto
r,(rcdotomega)=r,hat r,(r,hat rcdotomega)=r^2,hat r,(hat rcdotomega)

Passo 5

Substituindo essa expressão em L, resulta
L=ml(r^2,omega-r^2,hat r,(hat rcdotomega)r) = m,r^2l[omega-hat r,(hat rcdotomega)r]

Passo 6

No caso hat rcdotomega=0, o segundo termo some e fica
L=m,r^2,omega
Como I=m,r^2 é o momento de inércia de uma partícula a distância r, obtemos
L=I,omega

Resposta

boxedL=m,r^2l[omega-r(rcdotomega)r],
que para rcdotomega=0 reduz-se a L=I,omega com I=m,r^2.

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