Dados os vetores A=i+j, B=j+k e C=i-k :
(a) calcule o produto escalar triplo, A cdot(B times C). Observando que A=B+C, dê uma interpretação geométrica do seu resultado para o produto escalar triplo;
(b) calcule o produto vetorial triplo A times(B times C).

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos envolvendo vetores em R^3:
– o produto escalar triplo vec Acdot(vec Btimesvec C), sabendo que vec A=vec B+vec C, e uma interpretação geométrica;
– o produto vetorial triplo vec Atimes(vec Btimesvec C).
Vamos usar as operações de produto vetorial e escalar e a identidade do triplo vetorial.

Passo 2

Calcular vec Btimesvec C. Escrevendo vec B=hat j+hat k e vec C=hat i-hat k, temos term-a-term:
vec Btimesvec C =(hat j+hat k)times(hat i-hat k) =hat jtimeshat i ;+;hat jtimes(-hat k);+;hat ktimeshat i;+;hat ktimes(-hat k)
Sabendo que hat jtimeshat i=-hat k,;hat jtimeshat k=hat i,;hat ktimeshat i=hat j e hat ktimeshat k=0, obtemos
vec Btimesvec C =-hat k;-hat i;+hat j;+;0 =-hat i+hat j-hat k
Logo o produto escalar triplo fica
vec Acdot(vec Btimesvec C) =(hat i+hat j)cdot(-hat i+hat j-hat k) =-1+1+0 =0

Passo 3

O valor zero de vec Acdot(vec Btimesvec C) significa que o volume do paralelipípedo gerado por vec A,vec B,vec C é zero. Geometricamente isso decorre de vec A=vec B+vec C, ou seja, vec A está no mesmo plano de vec B e vec C, tornando-os coplanares.

Passo 4

Para calcular vec Atimes(vec Btimesvec C) usamos a identidade vetorial
vec Atimes(vec Btimesvec C) =vec B,(vec Acdotvec C);-;vec C,(vec Acdotvec B)
Aqui
vec Acdotvec C =(hat i+hat j)cdot(hat i-hat k) =1+0 =1, vec Acdotvec B =(hat i+hat j)cdot(hat j+hat k) =1+0 =1
Portanto
vec Atimes(vec Btimesvec C) =vec B-vec C =(hat j+hat k)-(hat i-hat k) =-hat i+hat j+2hat k

Resposta

(a) ;0. Isso indica que vec A,vec B,vec C são coplanares (volume nulo).
(b) ;-hat i+hat j+2hat k.

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