Questão 2.(10 Pontos)Uma corrente, com densidade linear Js=J0 z, flui sobre uma superfície cilíndrica de raio a. As propriedades magnéticas de todo o espaço é igual a do vácuo, mu0.
(a) Integrando a equação de Poisson, determine o potencial vetor em todos os pontos do espaço. Normalize o potencial a zero numa superfície cilíndrica de raio b>a.
(b) Modifique a expressão obtida do potencial vetor para o caso de um fio fino no qual flui uma corrente I na direção z. Verifique seu resultado calculando a indução magnética usando o rotacional.
Relembre: O potencial vetor é contínuo na superfície de corrente, mas sua derivada normal não é: (partial A2partial rho-partial A1partial rho)=-mu0 Js

Passo 1

O enunciado nos dá uma corrente superficial em rho=a com densidade Js=J0z. O objetivo é resolver a equação
nabla^2A=-mu0J
nas regiões rho<a e rho>a, impondo A(rho=b)=0 com b>a. No item (b) vamos considerar o limite do fio fino com corrente I e verificar B=nablatimesA.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica assumimos
A=Az(rho),z.
Nos intervalos sem corrente ( rhoneq a) a equação se reduz a
1rhoddrhol(rho,dAzdrhor)=0
cuja solução geral é
Az(rho)= C1ln(rho)+C2,&rho<a, D1ln(rho)+D2,&rho>a

Passo 3

A condição de normalização A(rho=b)=0 implica
0=D1ln(b)+D2 Longrightarrow D2=-D1ln(b),
logo para rho>a
Az(rho)=D1lnrhob

Passo 4

A continuidade de A em rho=a e o salto na derivada radial dado por
ldAzdrhor|a^+ -ldAzdrhor|a^- =-mu0J0
geram o sistema
C1ln(a)+C2=D1lnab, D1a-C1a=-mu0J0

Passo 5

Para Az ser finito em rho=0 precisamos de C1=0.
Da segunda equação obtemos D1=-mu0J0a. Substituindo em continuidade:
C2 =D1lnab =-mu0J0alnab =mu0J0alnba
Portanto
Az(rho)= mu0J0alnba,&rho<a, -mu0J0alnrhob =mu0J0alnbrho,&rho>a

Passo 6

No limite do fio fino definimos I=J0(2pi a) e fazemos ato0. Assim, para rho>0 (região externa ao fio) obtemos
Az(rho) =mu0,I2pi,lnbrho

Passo 7

Calculando B=nablatimesA em coordenadas cilíndricas com A=Az(rho)z temos
B(rho) =l(-dAzdrhor)phi =mu0I2pi,rho,phi,
que é o resultado esperado para o campo ao redor de um fio infinito.

Resposta

(a) Az(rho)= mu0J0alnba,&rho<a, mu0J0alnbrho,&rho>a
(b) Az(rho)=mu0I2pilnbrho(rho>0) e B(rho)=tfracmu0I2pirho,phi.\n

Exercícios relacionados