Questão 2.(10 Pontos)Uma corrente, com densidade linear , flui sobre uma superfície cilíndrica de raio . As propriedades magnéticas de todo o espaço é igual a do vácuo, .
(a) Integrando a equação de Poisson, determine o potencial vetor em todos os pontos do espaço. Normalize o potencial a zero numa superfície cilíndrica de raio .
(b) Modifique a expressão obtida do potencial vetor para o caso de um fio fino no qual flui uma corrente na direção . Verifique seu resultado calculando a indução magnética usando o rotacional.
Relembre: O potencial vetor é contínuo na superfície de corrente, mas sua derivada normal não é:
Passo 1
O enunciado nos dá uma corrente superficial em com densidade . O objetivo é resolver a equação
nas regiões e , impondo com . No item (b) vamos considerar o limite do fio fino com corrente e verificar .
Passo 2
Pela simetria cilíndrica assumimos .
Nos intervalos sem corrente () a equação se reduz a
cuja solução geral é
Passo 3
A condição de normalização implica
logo para
Passo 4
A continuidade de em e o salto na derivada radial dado por
geram o sistema
C1ln(a)+C2=D1lnab, D1a-C1a=-mu0J0
Passo 5
Para Az ser finito em rho=0 precisamos de C1=0.
Da segunda equação obtemos D1=-mu0J0a. Substituindo em continuidade: