(4^{a}) Questão: [10 pontos] Resolva a EDO
y^{\prime}+y \tan x=\frac{\cos x}{y}, \quad-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime}+y\tan x=\frac{\cos x}{y},\qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},
e pede encontrar a solução geral y(x) definida nesse intervalo. Informações relevantes:
  • A equação envolve y e y' e tem um termo \dfrac{1}{y} no lado direito, portanto y=0 não é permitido onde a EDO está escrita.
  • Queremos a solução geral (com constante de integração) válida para -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Para simplificar, multiplico a equação por y (válido enquanto y\neq0) para eliminar o denominador:
y\,y'+y^{2}\tan x=\cos x.
Agora faço a substituição z=y^{2}. Explico por que isso ajuda: a derivada de z é
z'=(y^{2})'=2y\,y',
portanto y\,y'=\dfrac{z'}{2}. Essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para z.

Passo 3

Usando y\,y'=\dfrac{z'}{2} na equação obtida:
\frac{z'}{2}+z\tan x=\cos x.
Multiplicando por 2 obtemos a EDO linear em z:
z'+2z\tan x=2\cos x.
Esta é uma equação linear de primeira ordem da forma z'+P(x)z=Q(x) com P(x)=2\tan x e Q(x)=2\cos x.

Passo 4

Para resolver uma equação linear de primeira ordem usamos o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big). Aqui
\int P(x)\,dx=\int 2\tan x\,dx=2\int \tan x\,dx=2(-\ln|\cos x|)=-2\ln|\cos x|.
Logo
\mu(x)=\exp\big(-2\ln|\cos x|\big)=|\cos x|^{-2}.
No intervalo dado -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2} temos \cos x>0, então |\cos x|=\cos x e podemos tomar
\mu(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Multiplicando a EDO por \mu(x)=\operatorname{sec}^{2}x obtemos
\operatorname{sec}^{2}x\,z'+2\tan x\operatorname{sec}^{2}x\,z=2\operatorname{sec} x.
O lado esquerdo é a derivada do produto (\operatorname{sec}^{2}x\;z) porque (\operatorname{sec}^{2}x)'=2\tan x\operatorname{sec}^{2}x. Portanto
\big(\operatorname{sec}^{2}x\;z\big)'=2\operatorname{sec} x.
Integramos ambos os lados em x:
\operatorname{sec}^{2}x\;z=\int 2\operatorname{sec} x\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Precisamos calcular \int \operatorname{sec} x\,dx. Um método clássico: multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} e usar substituição. O resultado conhecido é
\int \operatorname{sec} x\,dx=\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+ \text{constante}.
Assim
\int 2\operatorname{sec} x\,dx=2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+ \text{constante}.
Portanto podemos escrever
\operatorname{sec}^{2}x\;z=2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C.
Isolando z:
z=\cos^{2}x\;\big(2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C\big).

Passo 7

Lembrando que z=y^{2}, temos
y^{2}=\cos^{2}x\;\big(2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C\big).
Tomando raiz quadrada,
y=\pm \cos x\;\sqrt{\,2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C\,},
onde C é constante real arbitrária. Observações importantes para a prova:
  • No intervalo -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2} tem-se \cos x>0, então \cos^{2}x está bem definida e positiva.
  • A função solução só é válida em subintervalos onde o conteúdo da raiz é positivo (porque y deve ser real e, além disso, a EDO original exige y\neq0).
  • A escolha do sinal \pm corresponde às duas famílias de soluções (positiva e negativa) compatíveis com o valor inicial, se houver.

Resposta

y(x)=\pm \cos x\;\sqrt{\,2\ln\big|\operatorname{sec} x+\tan x\big|+C\,}

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