(4^{a}) Questão: [10 pontos] Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
definida nesse intervalo. Informações relevantes:
- A equação envolve
e e tem um termo no lado direito, portanto não é permitido onde a EDO está escrita. - Queremos a solução geral (com constante de integração) válida para
.
Passo 2
Para simplificar, multiplico a equação por
(válido enquanto
) para eliminar o denominador:
Agora faço a substituição
. Explico por que isso ajuda: a derivada de
é
portanto
. Essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para
.
Passo 3
Usando
na equação obtida:
Multiplicando por
obtemos a EDO linear em
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem da forma
com
e
.
Passo 4
Para resolver uma equação linear de primeira ordem usamos o fator integrante
. Aqui
Logo
No intervalo dado
temos
, então
e podemos tomar
Passo 5
Multiplicando a EDO por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
porque
. Portanto
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Precisamos calcular
. Um método clássico: multiplicar por
e usar substituição. O resultado conhecido é
Assim
Portanto podemos escrever
Isolando
:
Passo 7
Lembrando que
, temos
Tomando raiz quadrada,
onde
é constante real arbitrária. Observações importantes para a prova:
- No intervalo
tem-se , então está bem definida e positiva. - A função solução só é válida em subintervalos onde o conteúdo da raiz é positivo (porque
deve ser real e, além disso, a EDO original exige ). - A escolha do sinal
corresponde às duas famílias de soluções (positiva e negativa) compatíveis com o valor inicial, se houver.