(3^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva as EDOs abaixo.
[10 pontos] Obtenha a solução implícita para a EDO y^{\prime}=\frac{x}{\left(y^{2}+3\right)\left(1+x^{2}\right)^{2 / 3}}, \quad y(0)=3.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial seguintes:
  • Equação: y^{\prime}=\dfrac{x}{\left(y^{2}+3\right)\left(1+x^{2}\right)^{2/3}}.
  • Condição inicial: y(0)=3.
O que é pedido: obter a solução implícita da EDO satisfazendo a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito é uma função do produto de uma parte que depende só de y, \left(y^{2}+3\right), e outra que depende só de x, \dfrac{x}{(1+x^{2})^{2/3}}.

Passo 2

Reconhecer que a equação é separável: podemos escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro. Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} e separando, obtemos
\left(y^{2}+3\right)\,dy=\frac{x}{(1+x^{2})^{2/3}}\,dx.
Aqui a ideia é colocar dy junto com a expressão que depende de y e dx junto com a expressão que depende de x, para então integrar ambos os lados. Isso é permitido porque estamos assumindo funções suficientemente regulares e trabalhamos localmente onde a separação faz sentido.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Primeiro escrevo a integral geral com a constante de integração C:
\int\left(y^{2}+3\right)\,dy=\int\frac{x}{(1+x^{2})^{2/3}}\,dx + C.
Explico as integrais que vou usar:
  • Para a integral da esquerda uso a regra da soma e a fórmula da potência: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1.
  • Para a integral da direita é conveniente usar substituição. Defino uma nova variável u para simplificar.

Passo 4

Calculo a integral da esquerda:
\int\left(y^{2}+3\right)\,dy=\int y^{2}\,dy+\int 3\,dy=\frac{y^{3}}{3}+3y.
Detalhe: apliquei \int y^{2}\,dy=\dfrac{y^{3}}{3} e \int 3\,dy=3y.

Passo 5

Calculo a integral da direita por substituição. Defino
u=1+x^{2}.
Então du=2x\,dx, o que implica x\,dx=\dfrac{du}{2}. Substituindo na integral:
\int\frac{x}{(1+x^{2})^{2/3}}\,dx=\int \frac{1}{u^{2/3}}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{-2/3}\,du.
Agora aplico a fórmula da potência com n=-\tfrac{2}{3}:
\frac{1}{2}\int u^{-2/3}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/3}}{1/3}=\frac{1}{2}\cdot 3\,u^{1/3}=\frac{3}{2}u^{1/3}.
Retornando à variável x: \displaystyle \frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/3}.

Passo 6

Juntando as integrais obtidas das partes esquerda e direita, temos a solução implícita geral:
\frac{y^{3}}{3}+3y=\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/3}+C.

Passo 7

Agora aplico a condição inicial y(0)=3 para determinar C. Substituo x=0 e y=3 na expressão implícita:
\frac{3^{3}}{3}+3\cdot 3=\frac{3}{2}(1+0^{2})^{1/3}+C.
Calculando os termos:
\frac{27}{3}+9=\frac{3}{2}\cdot 1 + C \quad\Rightarrow\quad 9+9=\frac{3}{2}+C \quad\Rightarrow\quad 18=\frac{3}{2}+C.
Assim
C=18-\frac{3}{2}=\frac{36-3}{2}=\frac{33}{2}.

Passo 8

Substituindo C=\dfrac{33}{2} na solução implícita geral, obtemos a solução implícita particular que satisfaz a condição inicial:
\frac{y^{3}}{3}+3y=\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/3}+\frac{33}{2}.
Opcionalmente, pode-se multiplicar ambos os lados por 6 para eliminar frações:
2y^{3}+18y=9(1+x^{2})^{1/3}+99.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{3}}{3}+3y=\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/3}+\frac{33}{2}

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