(3^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva as EDOs abaixo.
[10 pontos] Obtenha a solução implícita para a EDO
.
[10 pontos] Obtenha a solução implícita para a EDO
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial seguintes:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: obter a solução implícita da EDO satisfazendo a condição inicial.
Informações relevantes dadas:
- A derivada é
. - O lado direito é uma função do produto de uma parte que depende só de
, , e outra que depende só de , .
Passo 2
Reconhecer que a equação é separável: podemos escrever todos os termos com
multiplicando
de um lado e todos os termos com
multiplicando
do outro. Escrevendo
e separando, obtemos
Aqui a ideia é colocar
junto com a expressão que depende de
e
junto com a expressão que depende de
, para então integrar ambos os lados. Isso é permitido porque estamos assumindo funções suficientemente regulares e trabalhamos localmente onde a separação faz sentido.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Primeiro escrevo a integral geral com a constante de integração
:
Explico as integrais que vou usar:
- Para a integral da esquerda uso a regra da soma e a fórmula da potência:
quando . - Para a integral da direita é conveniente usar substituição. Defino uma nova variável
para simplificar.
Passo 4
Calculo a integral da esquerda:
Detalhe: apliquei
e
.
Passo 5
Calculo a integral da direita por substituição. Defino
Então
, o que implica
. Substituindo na integral:
Agora aplico a fórmula da potência com
:
Retornando à variável
:
.
Passo 6
Juntando as integrais obtidas das partes esquerda e direita, temos a solução implícita geral:
Passo 7
Agora aplico a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
na expressão implícita:
Calculando os termos:
Assim
Passo 8
Substituindo
na solução implícita geral, obtemos a solução implícita particular que satisfaz a condição inicial:
Opcionalmente, pode-se multiplicar ambos os lados por
para eliminar frações: