(3^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva as EDOs abaixo.
[10 pontos] Resolva a EDO
.
[10 pontos] Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
e pede que se encontre a solução geral
. As informações relevantes são:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
e linearmente com coeficientes que dependem de . - O domínio indicado é
(isso permite dividir por e usar sem problemas).
O objetivo é achar a solução geralválida para .
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem facilita a solução. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
), obtemos
Aqui podemos identificar, para fins de método, as funções
Não estou dizendo formalmente o nome da “matéria”, apenas reescrevendo a equação de maneira que dá pra aplicar um procedimento sistemático.
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre o que vamos usar: para uma equação da forma
existe uma técnica que usa um fator integrante
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
. Isso ocorre porque
Para que
seja igual ao lado esquerdo multiplicado por
, precisamos que
. Isso leva à equação separável
cuja solução é
Esse
é o chamado fator integrante; multiplicando a EDO por
transformamos o lado esquerdo em
, o que permite integrar diretamente.
Passo 4
Calcular o fator integrante usando
:
onde usamos que
para que
esteja definido e
. Então
.
Passo 5
Multiplicando a equação padronizada por
obtemos
ou seja
Observa-se agora que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Portanto a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é uma constante arbitrária de integração. Precisamos, então, calcular a integral
.
Passo 7
Calcular
por partes. Tomamos
A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Agora integrar
. Assim
Passo 8
Substituindo o resultado da integral em
, obtemos
Dividindo ambos os lados por
(novamente
), chega-se à solução geral
Podemos também escrever de forma factorizada:
Aqui
é uma constante real arbitrária e a solução é válida para
.
Passo 9
Breve verificação (para ficar confiante): calcular
a partir de
fazendo a derivada termo a termo (usando produto e regra da potência) e substituir em
retorna
. Essa verificação confirma que a solução encontrada está correta.