Questão 2: (10 pontos)
Sejam A e B matrizes 4 \times 4 tais que \operatorname{det}(A)=-3 e \operatorname{det}(B)=2. Calcule \operatorname{det}\left(\frac{1}{2} B^{3} A^{-1} B^{t}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \det(A) = -3.
  • \det(B) = 2.
    O que se pede calcular é:
\det\!\left(\frac{1}{2}\,B^{3}A^{-1}B^{t}\right).

Passo 2

Vou listar as propriedades de determinante que vou usar — explicando cada uma com calma:
  • Produto de matrizes: para matrizes quadradas do mesmo tamanho vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Isto significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes.
  • Potência de matriz: para uma matriz quadrada B e inteiro positivo k,
\det(B^{k})=\bigl(\det(B)\bigr)^{k}.
Porque B^{k} é produto de k vezes B por si mesma.
  • Inversa: se A é invertível então
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Isto decorre de \det(A) \det(A^{-1})=\det(I)=1.
  • Transposta: para qualquer matriz quadrada B,
\det(B^{t})=\det(B).
A transposição não altera o determinante.
  • Multiplicação por escalar: se M é uma matriz n\times n e c é um escalar, então
\det(cM)=c^{n}\det(M).
Explicação rápida: multiplicar uma linha por c multiplica \det por c; fazendo isso em n linhas obtemos c^{n}.

Passo 3

Aplicando a propriedade de potência a B^{3}:
\det(B^{3})=\bigl(\det(B)\bigr)^{3}.

Passo 4

Aplicando a propriedade da transposta:
\det(B^{t})=\det(B).

Passo 5

Como a matriz inteira \frac{1}{2}B^{3}A^{-1}B^{t} é 4\times4, a multiplicação por \tfrac{1}{2} fora do produto é um escalar multiplicando uma matriz 4\times4. Pelo fato do escalar agir em cada linha, temos
\det\!\left(\tfrac{1}{2}M\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\det(M)
para qualquer 4\times4 M.

Passo 6

Usando todas as propriedades anteriores (produto, potência, inversa, transposta e fator escalar), escrevo o determinante pedido como
\det\!\left(\tfrac{1}{2}B^{3}A^{-1}B^{t}\right) =\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\det(B^{3})\det(A^{-1})\det(B^{t}).
Substituindo \det(B^{3})=\bigl(\det(B)\bigr)^{3} e \det(B^{t})=\det(B) e \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}, obtemos
\det\!\left(\tfrac{1}{2}B^{3}A^{-1}B^{t}\right) =\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\bigl(\det(B)\bigr)^{3}\cdot\frac{1}{\det(A)}\cdot\det(B).
Agrupando os fatores de \det(B):
\det\!\left(\tfrac{1}{2}B^{3}A^{-1}B^{t}\right) =\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\bigl(\det(B)\bigr)^{4}\cdot\frac{1}{\det(A)}.

Passo 7

Agora substituo os valores numéricos dados: \det(B)=2 e \det(A)=-3.
Calculo passo a passo:
\bigl(\det(B)\bigr)^{4}=2^{4}=16, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}.
Então
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}\bigl(\det(B)\bigr)^{4}=\frac{1}{16}\cdot 16 = 1.
Logo
\det\!\left(\tfrac{1}{2}B^{3}A^{-1}B^{t}\right)=1\cdot\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.

Resposta

-\frac{1}{3}

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