Questão 2: (10 pontos)
Sejam
e
matrizes
tais que
e
. Calcule
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede calcular é:
Passo 2
Vou listar as propriedades de determinante que vou usar — explicando cada uma com calma:
- Produto de matrizes: para matrizes quadradas do mesmo tamanho vale
Isto significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes.
- Potência de matriz: para uma matriz quadrada
e inteiro positivo ,
Porque
é produto de
vezes
por si mesma.
- Inversa: se
é invertível então
Isto decorre de
.
- Transposta: para qualquer matriz quadrada
,
A transposição não altera o determinante.
- Multiplicação por escalar: se
é uma matriz e é um escalar, então
Explicação rápida: multiplicar uma linha por
multiplica
por
; fazendo isso em
linhas obtemos
.
Passo 3
Aplicando a propriedade de potência a
:
Passo 4
Aplicando a propriedade da transposta:
Passo 5
Como a matriz inteira
é
, a multiplicação por
fora do produto é um escalar multiplicando uma matriz
. Pelo fato do escalar agir em cada linha, temos
para qualquer
.
Passo 6
Usando todas as propriedades anteriores (produto, potência, inversa, transposta e fator escalar), escrevo o determinante pedido como
Substituindo
e
e
, obtemos
Agrupando os fatores de
:
Passo 7
Agora substituo os valores numéricos dados:
e
.
Calculo passo a passo:
Calculo passo a passo:
Então
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