onde b é um parâmetro real. O que se pede é: determinar para quais valores de b
o sistema não tem solução;
o sistema tem solução única;
o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A é uma matriz 2\times2 cujo determinante depende de b.
Para matrizes quadradas 2\times2, a existência e unicidade da solução podem ser decididas pelo determinante; quando o determinante é zero é preciso checar a consistência (ranks) para distinguir entre sem solução e infinitas soluções.]
Passo 2
Regra rápida (teoria que vou usar): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & c\\[4pt]b & d\end{pmatrix}
o determinante é \det=\;ad-bc. Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema AX=B tem solução única. Se \det(A)=0 então pode não haver solução ou haver infinitas soluções; aí é preciso examinar o sistema aumentado para ver se é consistente.
Calculemos \det(A) para a nossa matriz:
\det(A)=3\cdot 2 - 1\cdot (b^{2}+5).
Faço a conta passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\qquad 1\cdot (b^{2}+5)=b^{2}+5,
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\det(A)=6-(b^{2}+5)=6-b^{2}-5=1-b^{2}.
Podemos fatorar:
\det(A)=1-b^{2}=(1-b)(1+b).]
Passo 3
Conclusão inicial baseada no determinante:
Se \det(A)\neq 0, isto é, se 1-b^{2}\neq 0 ou seja se b\neq \pm 1, então o sistema tem solução única.
Se \det(A)=0, isto é, b=\pm 1, então precisamos analisar caso a caso (consistência) para decidir entre sem solução ou infinitas soluções.
Agora vou dar a forma explícita da solução no caso único (b\neq\pm 1). Vou usar a regra de Cramer (teoria): para 2\times2 com X=(x_{1},x_{2})^{T},
Observe que a primeira equação é 3\] vezes a segunda em termos das colunas dos coeficientes: os coeficientes satisfazem \([3\\\ 6]=3\cdot[1\\\ 2]. Mas os termos independentes não são proporcionais: multiplicando a segunda equação por 3 obtém-se 3x_{1}+6x_{2}=3, que daria RHS 3, mas a primeira exige RHS -3. Há contradição. Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução quando b=1.]
Agora veja que a primeira equação é exatamente 3\] vezes a segunda, inclusive do lado direito: \(3\cdot(-1)=-3. Logo as duas equações são dependentes e não há contradição — temos apenas uma equação efetiva com duas incógnitas, então existem infinitas soluções. Para parametrizar, tomo x_{2}=t livre, então da segunda equação