Questão 1: (10 pontos)
Encontre o conjunto-solução do sistema S em 4 variáveis:
(5)
S=\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-8 x_{2}-2 x_{3}+8 x_{4}=0 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o conjunto-solução do sistema S em quatro variáveis. O sistema fornecido é
S=\left\{\begin{array}{l} 4x_{1}-8x_{2}-2x_{3}+8x_{4=}=0\\[4pt] - x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • Há duas equações lineares envolvendo as incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Precisamos descrever todas as quádruplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem simultaneamente as duas equações.
  • Como há menos equações que incógnitas (2 equações, 4 incógnitas), espera-se uma infinidade de soluções parametrizadas (um espaço de dimensão 2, provavelmente). A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Vamos usar eliminação linear: combinar as equações para eliminar uma incógnita e obter relações mais simples. Multiplico a segunda equação por 4 e somo à primeira para eliminar x_{1} (pois 4\cdot(-x_{1}) = -4x_{1} cancela com 4x_{1}):
4\cdot(-x_{1}+2x_{2}+x_{3}) = -4x_{1}+8x_{2}+4x_{3}=0.
Somando essa à primeira equação 4x_{1}-8x_{2}-2x_{3}+8x_{4}=0 obtemos
(4x_{1}-4x_{1}) + (-8x_{2}+8x_{2}) + (-2x_{3}+4x_{3}) + 8x_{4} = 0,
ou seja
2x_{3}+8x_{4}=0.

Passo 3

Da relação obtida em bloco:
2x_{3}+8x_{4}=0
isolo x_{3}:
2x_{3}=-8x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=-4x_{4}.
Isto é uma relação direta entre x_{3} e x_{4}.

Passo 4

Agora uso essa expressão de x_{3} na segunda equação original para encontrar x_{1} em função das outras variáveis. A segunda equação é
- x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.
Substituindo x_{3}=-4x_{4} temos
- x_{1}+2x_{2}-4x_{4}=0.
Isolando x_{1},
- x_{1} = -2x_{2}+4x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=2x_{2}-4x_{4}.

Passo 5

Temos agora expressões de x_{1} e x_{3} em função de x_{2} e x_{4}. Como esperado, podemos escolher duas variáveis livres (parâmetros). Faço a escolha usual:
x_{2}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad\text{com }s,t\in\mathbb{R}.
Então, pelas fórmulas anteriores:
x_{1}=2x_{2}-4x_{4}=2s-4t, \qquad x_{3}=-4x_{4}=-4t.
Portanto a solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(2s-4t,\; s,\; -4t,\; t), \qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Escrevo a solução em forma vetorial e como combinação linear (forma mais prática na prova):
\begin{aligned} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) &= s\,(2,1,0,0) + t\,(-4,0,-4,1)\\[4pt] &= s\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-4\\[2pt]0\\[2pt]-4\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Explicando rápido o porquê disso funcionar (mini-aula): cada solução é obtida somando uma cópia do vetor (2,1,0,0) multiplicada por s e do vetor (-4,0,-4,1) multiplicada por t. Esses dois vetores formam um gerador (base) do espaço solução, que tem dimensão 2 porque tínhamos 4 incógnitas e 2 equações independentes.]

Passo 7

Verificação (opcional, mas bom para prova): posso checar que qualquer vetor da forma acima satisfaz as duas equações. Substituindo a forma paramétrica nas equações originais confirma-se que ambas são satisfeitas (essa verificação segue diretamente da derivação por substituição feita nos passos anteriores).

Resposta

\displaystyle \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid x_{1}=2s-4t,\;x_{2}=s,\;x_{3}=-4t,\;x_{4}=t,\;s,t\in\mathbb{R}\}
\displaystyle =\{\,s(2,1,0,0)+t(-4,0,-4,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\}

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