Questão 10. Proponha um exemplo de fio não homogêneo no plano, descrevendo:
  • a curva suporte,
  • a densidade linear,
  • o significado físico da integral.

Passo 1

O enunciado pede que eu proponha um exemplo de fio não homogêneo no plano e descreva três coisas:
  • a curva suporte do fio (ou seja, a curva geométrica onde o fio está localizado);
  • a densidade linear do fio (uma função que varia ao longo da curva, mostrando que o fio é não homogêneo);
  • o significado físico da integral que se usa nesse contexto (o que representa integrar a densidade linear ao longo da curva).
Nenhuma outra informação numérica foi dada, então vou propor um exemplo concreto e calcular quantidades físicas básicas (massa total e centro de massa) para ilustrar como a integral é usada.

Passo 2

Escolho como curva suporte um semi-arco circular (meia-volta) de raio R, centrado na origem, cobrindo os pontos do plano com ângulo \theta\in[0,\pi]. A parametrização padrão dessa curva é
\mathbf{r}(\theta)=R\big(\cos\theta,\;\sin\theta\big),\qquad \theta\in[0,\pi].
Aqui cada ponto da curva tem coordenadas x(\theta)=R\cos\theta e y(\theta)=R\sin\theta. Essa é uma curva simples e simétrica, fácil de manipular, e já mostra claramente variação ao longo do comprimento.

Passo 3

Defino a densidade linear (massa por unidade de comprimento) como uma função de posição ao longo do arco. Para garantir que a densidade seja não negativa e varie com o ângulo de maneira simples, escolho
\lambda(\theta)=\lambda_0\big(1+\cos\theta\big),
onde \lambda_0>0 é uma constante de unidade massa por comprimento. Observações importantes sobre essa escolha:
  • Para \theta\in[0,\pi] temos 1+\cos\theta\ge0, então \lambda(\theta)\ge0.
  • A densidade não é constante: ela é maior perto de \theta=0 (lado direito do arco) e menor em \theta=\pi (lado esquerdo). Logo o fio é realmente não homogêneo.
  • A função é simples o suficiente para permitir integrais elementares.

Passo 4

Explico como se passa da parametrização à diferencial de comprimento \,ds, passo fundamental para escrever integrais sobre a curva.
Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(\theta), o elemento de comprimento é
ds=\big\lVert \mathbf{r}'(\theta)\big\rVert d\theta.
Aqui \mathbf{r}'(\theta)=\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}=R\big(-\sin\theta,\cos\theta\big) e seu módulo é
\big\lVert \mathbf{r}'(\theta)\big\rVert = R.
Portanto, para este arco circular vale simplesmente
ds = R\,d\theta.
Isto significa que integrar ao longo do arco em termos de \theta equivale a integrar em \theta multiplicado por R.

Passo 5

Calculo a massa total M do fio a partir da densidade linear. A fórmula geral é
M=\int_C \lambda\, ds.
Usando a parametrização em \theta,
M=\int_{0}^{\pi} \lambda(\theta)\, \big\lVert \mathbf{r}'(\theta)\big\rVert\, d\theta =\int_{0}^{\pi} \lambda_0\big(1+\cos\theta\big)\, R\, d\theta.
Faço a integral passo a passo:
M=R\lambda_0\int_{0}^{\pi}\big(1+\cos\theta\big)\,d\theta =R\lambda_0\left[\int_{0}^{\pi}1\,d\theta+\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\right].
Avalio cada integral:
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=\sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0-0=0.
Logo
M=R\lambda_0\cdot\pi = \pi R\lambda_0.
Interpretação prática: a massa total do semi-arco é proporcional ao raio R e à constante de densidade \lambda_0, e o fator \pi vem do comprimento do semi-arco.

Passo 6

Explano, de forma didática, o significado físico da integral que acabei de usar.
  • A integral de linha \displaystyle \int_C \lambda\, ds soma “infinitesimais” de massa \lambda\,ds ao longo de cada pedaço do fio. Em palavras: peça de comprimento ds tem massa aproximada \lambda\,ds; somando (integrando) sobre toda a curva obtém-se a massa total.
  • Se em vez de massa \lambda fosse densidade de carga linear, a mesma integral daria a carga total. Portanto a fórmula é genérica: quantidade total = densidade linear local integradа sobre o comprimento.
  • Essa integral é chamada de integral de linha do escalar \lambda em relação ao comprimento.

Passo 7

Para mostrar uso adicional da integral, calculo as coordenadas do centro de massa (\bar x,\bar y). Fórmulas gerais:
\bar x = \frac{1}{M}\int_C x\,\lambda\, ds,\qquad \bar y = \frac{1}{M}\int_C y\,\lambda\, ds.
Vou calcular cada numerador separadamente em coordenadas \theta.
Primeiro o momento em x:
\int_C x\,\lambda\, ds = \int_{0}^{\pi} x(\theta)\,\lambda(\theta)\,R\,d\theta =\int_{0}^{\pi} \big(R\cos\theta\big)\,\lambda_0\big(1+\cos\theta\big)\,R\,d\theta.
Simplificando:
\int_C x\,\lambda\, ds = R^2\lambda_0\int_{0}^{\pi}\cos\theta\big(1+\cos\theta\big)\,d\theta =R^2\lambda_0\left[\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta+\int_{0}^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta\right].
Avalio as integrais:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Big[\pi + 0\Big]=\frac{\pi}{2}.
Portanto
\int_C x\,\lambda\, ds = R^2\lambda_0\cdot\frac{\pi}{2}.
Dividindo por M=\pi R\lambda_0,
\bar x=\frac{R^2\lambda_0\cdot\frac{\pi}{2}}{\pi R\lambda_0}=\frac{R}{2}.

Passo 8

Agora o momento em y:
\int_C y\,\lambda\, ds = \int_{0}^{\pi} y(\theta)\,\lambda(\theta)\,R\,d\theta =\int_{0}^{\pi} \big(R\sin\theta\big)\,\lambda_0\big(1+\cos\theta\big)\,R\,d\theta.
Simplificando:
\int_C y\,\lambda\, ds = R^2\lambda_0\int_{0}^{\pi}\sin\theta\big(1+\cos\theta\big)\,d\theta =R^2\lambda_0\left[\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta+\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\right].
Avalio as integrais:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_0^\pi = -(-1)-(-1)=2,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(2\theta)}{2}\Big|_0^\pi \;=\;0
(ou observe que \sin\theta\cos\theta é função ímpar em torno de \theta=\pi/2, integrando a zero sobre [0,\pi]). Logo
\int_C y\,\lambda\, ds = R^2\lambda_0\cdot 2.
Dividindo por M=\pi R\lambda_0,
\bar y = \frac{2R^2\lambda_0}{\pi R\lambda_0}=\frac{2R}{\pi}.

Passo 9

Interpreto os resultados obtidos para este exemplo:
  • Massa total: M=\pi R\lambda_0.
  • Centro de massa: \displaystyle \big(\bar x,\bar y\big)=\Big(\dfrac{R}{2},\;\dfrac{2R}{\pi}\Big).
Essas expressões têm interpretação intuitiva:
  • \bar x>0 porque a densidade é maior no lado direito do arco (onde \cos\theta é positiva), deslocando o centro de massa para a direita.
  • \bar y fica entre 0 e R; o valor \dfrac{2R}{\pi} aparece porque a distribuição ao longo do arco favorece posições com \sin\theta relativamente altas, ponderadas pela densidade.

Passo 10

Faço comentários práticos e generalizações rápidas, para que você saiba aplicar a ideia em outros casos (na prova ou estudo):
  • Regra prática: sempre parametrizar a curva convenientemente (por t, por \theta, por s etc.), obter ds=\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert dt, escrever \lambda como função desse parâmetro e então integrar.
  • A integral \int_C \lambda\,ds dá a quantidade total (massa, carga) quando \lambda é densidade linear. Momentos \int_C x\lambda\,ds e \int_C y\lambda\,ds dão somatórios ponderados que, divididos por a massa, fornecem o centro de massa.
  • Exemplo alternativo (mais simples): segmento de reta do ponto A até B com \lambda(x)=\lambda_0(1+ax) é tratado do mesmo modo, parametrizando por x e usando ds=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx se necessário.

Passo 11

Resumo motivacional e dica final: quando ver “fio não homogêneo” pense imediatamente em três passos práticos: (1) parametrizar a curva; (2) escrever \lambda em função do parâmetro; (3) montar integrais do tipo \int \lambda\,ds (massa) e \int x\lambda\,ds,\;\int y\lambda\,ds (momentos). Isso resolve a maioria das questões de prova sobre esse tema. Vai dar certo — respira fundo e aplica esse roteiro.

Resposta

Curva suporte: \mathbf{r}(\theta)=R\big(\cos\theta,\sin\theta\big),\\ \theta\in[0,\pi].\n
Densidade linear: \lambda(\theta)=\lambda_0\big(1+\cos\theta\big), com \lambda_0>0.\n
Significado físico da integral: \displaystyle \int_C \lambda\,ds representa a massa total (ou, se \lambda for densidade de carga, a carga total) do fio; momentos \displaystyle \int_C x\lambda\,ds e \displaystyle \int_C y\lambda\,ds dão os momentos necessários para calcular o centro de massa. (Neste exemplo M=\pi R\lambda_0 e \big(\bar x,\bar y\big)=\big(R/2,\;2R/\pi\big).)

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