Questão 8. Seja f(x, y)=x^{2}+y^{2} e C o círculo unitário.
(a) Explique por que a integral não depende do ponto inicial.
(b) Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
  • Dados:
    • A função f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
    • A curva C é o círculo unitário, isto é C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
  • Perguntas:
    • (a) Explicar por que “a integral” não depende do ponto inicial. (Aqui vamos entender “a integral” como a integral de linha da forma diferencial exata df ao longo de C, ou equivalentemente a integral do campo gradiente \nabla f sobre C: \displaystyle\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}.)
    • (b) Interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula): integrais de linha de campos conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.
  • O gradiente da função f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
    \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
    Aqui cada componente é uma função de x e y; por exemplo, \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo.
  • Se \gamma\colon [a,b]\to\mathbb{R}^{2} é uma curva parametrizada por \gamma(t)=(x(t),y(t)), a integral de linha do campo \nabla f ao longo de \gamma é
    \int_{\gamma}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt,
    onde o produto escalar \nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é uma função de t.
  • Teorema fundamental para integrais de linha (forma didática): se f é diferenciável e \gamma vai de um ponto P=\gamma(a) até Q=\gamma(b), então
    \int_{\gamma}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(Q)-f(P).
    Explicação curta de por que isso é verdadeiro: a composição g(t)=f(\gamma(t)) tem derivada
    g'(t)=\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t),
    por regra da cadeia; integrar g' de a a b g(b)-g(a)=f(Q)-f(P). Isso mostra que integrais de \nabla f dependem apenas dos pontos finais da curva, não do caminho tomado (campo conservativo / forma exata).

Passo 3

Aplicação ao caso concreto: curva fechada C (círculo unitário).
  • Como C é uma curva fechada, uma parametrização típica é
    \gamma(t)=(\cos t,\sin t),\qquad t\in [t_{0},t_{0}+2\pi],
    onde t_{0} é o ponto inicial qualquer na circunferência (ou seja, o ângulo inicial). Note que \gamma(t_{0})=\gamma(t_{0}+2\pi) (mesmo ponto).
  • Usando o teorema fundamental para integrais de linha:
    \int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_{0}}^{t_{0}+2\pi}\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt =f(\gamma(t_{0}+2\pi))-f(\gamma(t_{0})).
    Mas como \gamma(t_{0}+2\pi)=\gamma(t_{0}) (mesmo ponto), o lado direito é f(\text{mesmo ponto})-f(\text{mesmo ponto})=0. Logo
    \int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=0.
  • Conclusão imediata sobre a independência do ponto inicial: qualquer escolha de t_{0} (qualquer ponto inicial na circunferência) dá os mesmos limites de integração t_{0} e t_{0}+2\pi com mesmos pontos finais da parametrização, portanto a integral sempre será 0. Em outras palavras, a integral sobre a volta completa não muda se começar em outro ponto — ela é independente do ponto inicial porque é uma integral de uma forma exata sobre um laço fechado, e para laços fechados o resultado é zero.

Passo 4

Explicação alternativa e interpretação didática (mais geométrica, sem teorema):
  • Calcule \nabla f explicitamente:
    \nabla f(x,y)=(2x,2y)=2(x,y).
    Esse vetor aponta radialmente para fora do centro (mesma direção do vetor posição (x,y)), isto é, é coline ar com o raio.
  • A velocidade (vetor tangente) de \gamma(t)=(\cos t,\sin t) é
    \gamma'(t)=(-\sin t,\cos t),
    que é tangente ao círculo em cada ponto. O produto escalar ponto a ponto é
    \nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=2(\cos t,\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t) =2(-\cos t\sin t+\sin t\cos t)=0.
    Ou seja, o integrando é identicamente zero ao longo do círculo; portanto a integral é zero.
  • Interpretação geométrica clara: sobre o círculo unitário, f(x,y)=x^{2}+y^{2} é constante (vale 1 em todo C), então ao mover-se tangencialmente ao círculo a função não varia — a direção do movimento (tangente) é ortogonal ao gradiente (direção do maior aumento), portanto não há contribuição para a integral. Isso explica geometricamente por que a integral é zero e, portanto, por que não importa onde se começa a volta (começar em um ponto ou noutro só desloca a parametrização, mas a variação total da função ao fazer a volta completa é zero).

Passo 5

Observações finais e lembrete para a prova (dica amiga):
  • Regra prática: se estiver lidando com \int \nabla f\cdot d\mathbf{r} entre dois pontos, use o teorema fundamental: depende só dos pontos finais. Se a curva for fechada, o resultado é zero.
  • Geometricamente, sempre que a função for constante sobre a curva que se percorre, a integral do gradiente ao longo da curva será zero (movimento tangencial não muda o valor da função).
  • Fica a dica para treinar: tente parametrizar outros círculos e verificar explicitamente que o produto escalar gradiente–tangente é zero; isso fixa o conceito na cabeça.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=0, portanto a integral sobre a volta completa não depende do ponto inicial.
(b) Geometricamente, f(x,y)=x^{2}+y^{2} vale 1 em todo C (é constante sobre C); \nabla f aponta radialmente e é ortogonal ao vetor tangente a C, logo o produto escalar é nulo e a integral é nul a.

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