Questão 8. Seja
e
o círculo unitário.
(a) Explique por que a integral não depende do ponto inicial.
(b) Interprete geometricamente o resultado.
(a) Explique por que a integral não depende do ponto inicial.
(b) Interprete geometricamente o resultado.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
- Dados:
- A função
. - A curva
é o círculo unitário, isto é .
- A função
- Perguntas:
- (a) Explicar por que “a integral” não depende do ponto inicial. (Aqui vamos entender “a integral” como a integral de linha da forma diferencial exata
ao longo de , ou equivalentemente a integral do campo gradiente sobre : .) - (b) Interpretar geometricamente o resultado.
- (a) Explicar por que “a integral” não depende do ponto inicial. (Aqui vamos entender “a integral” como a integral de linha da forma diferencial exata
Passo 2
Conceitos essenciais (mini-aula): integrais de linha de campos conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.
-
O gradiente da função
é o vetor formado pelas derivadas parciais: Aqui cada componente é uma função dee ; por exemplo, é a derivada de em relação a mantendo fixo. -
Se
é uma curva parametrizada por , a integral de linha do campo ao longo de é onde o produto escalaré uma função de . -
Teorema fundamental para integrais de linha (forma didática): se
é diferenciável e vai de um ponto até , então Explicação curta de por que isso é verdadeiro: a composiçãotem derivada por regra da cadeia; integrarde a dá . Isso mostra que integrais de dependem apenas dos pontos finais da curva, não do caminho tomado (campo conservativo / forma exata).
Passo 3
Aplicação ao caso concreto: curva fechada
(círculo unitário).
-
Como
é uma curva fechada, uma parametrização típica é ondeé o ponto inicial qualquer na circunferência (ou seja, o ângulo inicial). Note que (mesmo ponto). -
Usando o teorema fundamental para integrais de linha:Mas como
(mesmo ponto), o lado direito é . Logo -
Conclusão imediata sobre a independência do ponto inicial: qualquer escolha de
(qualquer ponto inicial na circunferência) dá os mesmos limites de integração e com mesmos pontos finais da parametrização, portanto a integral sempre será . Em outras palavras, a integral sobre a volta completa não muda se começar em outro ponto — ela é independente do ponto inicial porque é uma integral de uma forma exata sobre um laço fechado, e para laços fechados o resultado é zero.
Passo 4
Explicação alternativa e interpretação didática (mais geométrica, sem teorema):
-
Calcule
explicitamente: Esse vetor aponta radialmente para fora do centro (mesma direção do vetor posição), isto é, é coline ar com o raio. -
A velocidade (vetor tangente) de
é que é tangente ao círculo em cada ponto. O produto escalar ponto a ponto éOu seja, o integrando é identicamente zero ao longo do círculo; portanto a integral é zero. -
Interpretação geométrica clara: sobre o círculo unitário,
é constante (vale em todo ), então ao mover-se tangencialmente ao círculo a função não varia — a direção do movimento (tangente) é ortogonal ao gradiente (direção do maior aumento), portanto não há contribuição para a integral. Isso explica geometricamente por que a integral é zero e, portanto, por que não importa onde se começa a volta (começar em um ponto ou noutro só desloca a parametrização, mas a variação total da função ao fazer a volta completa é zero).
Passo 5
Observações finais e lembrete para a prova (dica amiga):
- Regra prática: se estiver lidando com
entre dois pontos, use o teorema fundamental: depende só dos pontos finais. Se a curva for fechada, o resultado é zero. - Geometricamente, sempre que a função for constante sobre a curva que se percorre, a integral do gradiente ao longo da curva será zero (movimento tangencial não muda o valor da função).
- Fica a dica para treinar: tente parametrizar outros círculos e verificar explicitamente que o produto escalar gradiente–tangente é zero; isso fixa o conceito na cabeça.
Resposta
(a)
, portanto a integral sobre a volta completa não depende do ponto inicial.
(b) Geometricamente,
vale
em todo
(é constante sobre
);
aponta radialmente e é ortogonal ao vetor tangente a
, logo o produto escalar é nulo e a integral é nul a.