Questão 10 - São dados três vetores em metros:
\vec{d}_{1}=-3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \quad ; \quad \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \quad \text { e } \quad \vec{d}_{3}=2,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+1,0 \hat{k}
Determine:
\quad \vec{d}_{1} \times\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores (unidade: metros). Eu peguei estes valores do enunciado:
\vec{d}_{1}=\,-3{,}0\,\hat{i}+3{,}0\,\hat{j}+2{,}0\,\hat{k}, \qquad \vec{d}_{2}=\,-2{,}0\,\hat{i}-4{,}0\,\hat{j}+2{,}0\,\hat{k}, \qquad \vec{d}_{3}=\,2{,}0\,\hat{i}+3{,}0\,\hat{j}+1{,}0\,\hat{k}.
O que o problema pede: calcular
\vec{d}_{1}\times\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr).

Passo 2

Primeiro somar \vec{d}_{2} e \vec{d}_{3}. Somar vetores é somar componente a componente. Usei os componentes que peguei do enunciado.
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = \bigl(-2{,}0+2{,}0\bigr)\,\hat{i}+\bigl(-4{,}0+3{,}0\bigr)\,\hat{j}+\bigl(2{,}0+1{,}0\bigr)\,\hat{k}.
Fazendo as contas:
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}=0{,}0\,\hat{i}-1{,}0\,\hat{j}+3{,}0\,\hat{k}.
Vou chamar esse vetor de \vec{s}:
\vec{s}=\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}=0{,}0\,\hat{i}-1{,}0\,\hat{j}+3{,}0\,\hat{k}.

Passo 3

Agora precisamos do produto vetorial (cross product) \vec{d}_{1}\times\vec{s}.
Explicação do conceito e da fórmula: o produto vetorial entre dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) é um vetor perpendicular a ambos e é dado componente a componente por
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\bigr)\,\hat{i} -\bigl(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\bigr)\,\hat{j} +\bigl(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr)\,\hat{k}.
Aqui a_{1},a_{2},a_{3} são as componentes de \vec{a} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k} respectivamente, e b_{1},b_{2},b_{3} são as de \vec{b}. Essa fórmula vem da expansão do determinante 3×3 ou da definição geométrica do cross product.

Passo 4

Identificar as componentes de \vec{d}_{1} e \vec{s}. De antes:
\vec{d}_{1}=(-3{,}0,\;3{,}0,\;2{,}0),\qquad \vec{s}=(0{,}0,\;-1{,}0,\;3{,}0).
Agora aplico a fórmula para a componente \hat{i}:
\text{componente em } \hat{i}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=3{,}0\cdot3{,}0-2{,}0\cdot(-1{,}0).
Calcule passo a passo:
3{,}0\cdot3{,}0=9{,}0,\qquad 2{,}0\cdot(-1{,}0)=-2{,}0,
então
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=9{,}0-(-2{,}0)=9{,}0+2{,}0=11{,}0.

Passo 5

Agora a componente em \hat{j}. Pela fórmula vem com sinal negativo:
\text{componente em } \hat{j}= -\bigl(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\bigr) = -\bigl((-3{,}0)\cdot3{,}0 - 2{,}0\cdot0{,}0\bigr).
Calcule:
(-3{,}0)\cdot3{,}0=-9{,}0,\qquad 2{,}0\cdot0{,}0=0{,}0,
então
a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}=-9{,}0-0{,}0=-9{,}0,
e com o sinal negativo:
\text{componente em } \hat{j}= -(-9{,}0)=9{,}0.

Passo 6

Finalmente a componente em \hat{k}:
\text{componente em } \hat{k}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=(-3{,}0)\cdot(-1{,}0)-3{,}0\cdot0{,}0.
Calcule:
(-3{,}0)\cdot(-1{,}0)=3{,}0,\qquad 3{,}0\cdot0{,}0=0{,}0,
então
\text{componente em } \hat{k}=3{,}0-0{,}0=3{,}0.

Passo 7

Juntando as componentes obtidas:
\vec{d}_{1}\times\vec{s}=11{,}0\,\hat{i}+9{,}0\,\hat{j}+3{,}0\,\hat{k}.
Lembrete de unidade: como os vetores iniciais estavam em metros, o resultado tem unidade \text{m}^2 se fosse interpretado como área (produto vetorial tem dimensão de produto de comprimentos), mas normalmente mantemos as componentes numéricas e podemos escrever a unidade como metros ao quadrado se for o caso físico. Aqui é suficiente indicar as componentes numéricas com os vetores unitários.

Passo 8

Verificação útil (para a prova): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos \vec{d}_{1} e \vec{s}. Verifico fazendo produto escalar (dot product) com cada um; o resultado deve ser zero.
Produto escalar com \vec{d}_{1}:
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{1}\times\vec{s}\bigr) =(-3{,}0)\cdot11{,}0 + 3{,}0\cdot9{,}0 + 2{,}0\cdot3{,}0.
Calcule:
-33{,}0 + 27{,}0 + 6{,}0 = 0{,}0.
Produto escalar com \vec{s}:
\vec{s}\cdot\bigl(\vec{d}_{1}\times\vec{s}\bigr) =0{,}0\cdot11{,}0 + (-1{,}0)\cdot9{,}0 + 3{,}0\cdot3{,}0.
Calcule:
0{,}0 -9{,}0 +9{,}0 = 0{,}0.
Os dois resultados são 0{,}0, confirmando que o vetor obtido é perpendicular a ambos — boa checagem de consistência.

Passo 9

Dica rápida para a prova: se preferir calcular direto sem decorar a fórmula, use a expansão do determinante
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix},
e expanda por primeira linha; dá exatamente as mesmas contas mostradas acima. Isso é prático e evita erros de sinal.

Resposta

\vec{d}_{1}\times\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr)=11{,}0\,\hat{i}+9{,}0\,\hat{j}+3{,}0\,\hat{k}

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