Questão 9 - As magnitudes dos vetores
e
são iguais. Qual é o ângulo formado pelos vetores
e
. R:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Informação: as magnitudes dos vetores
e são iguais, ou seja . - Pedido: determinar o ângulo formado entre os vetores
e .
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que liga produto escalar e ângulo). Para quaisquer vetores
e
vale
onde
é o ângulo entre
e
,
é o produto escalar (um número) e
é a magnitude (norma) de
. Assim, se conseguirmos calcular
e as normas, podemos obter
por
Explicando rápido: o produto escalar mede “quanto um vetor projeta no outro”; se ele for zero, os vetores são ortogonais (ângulo de
).
Passo 3
Vamos aplicar isso com
e
. Primeiro calcule o produto escalar expandindo usando distributividade:
Dois fatos que usamos aqui:
-
e . - O produto escalar é comutativo:
.
Portanto os termos do meio se cancelam:
e ficamos com
Passo 4
Agora usamos a hipótese do enunciado:
. Elevando ao quadrado obtemos
. Substituindo na igualdade do passo anterior,
Logo o produto escalar entre
e
é zero.
Passo 5
Interprete o resultado usando a fórmula do passo 2. Se
e ambos
e
são vetores não nulos, então
e portanto
. Assim, exceto em casos degenerados em que um dos vetores
ou
seja o vetor nulo (por exemplo se
então
, caso em que o ângulo não está definido), concluímos que os vetores
e
são ortogonais e formam um ângulo de
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
e
. Tem-se
. Então
e
. O produto escalar é
, confirmando que o ângulo é
. Bom sinal de que a conta geral funciona.