Questão 9 - As magnitudes dos vetores \vec{a} e \vec{b} são iguais. Qual é o ângulo formado pelos vetores (\vec{a}+\vec{b}) e (\vec{a}-\vec{b}). R: \mathbf{9 0}^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação: as magnitudes dos vetores \vec{a} e \vec{b} são iguais, ou seja \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|.
  • Pedido: determinar o ângulo formado entre os vetores \vec{a}+\vec{b} e \vec{a}-\vec{b}.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que liga produto escalar e ângulo). Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (um número) e \|\vec{u}\| é a magnitude (norma) de \vec{u}. Assim, se conseguirmos calcular \vec{u}\cdot\vec{v} e as normas, podemos obter \cos\theta por
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Explicando rápido: o produto escalar mede “quanto um vetor projeta no outro”; se ele for zero, os vetores são ortogonais (ângulo de 90^\circ).

Passo 3

Vamos aplicar isso com \vec{u}=\vec{a}+\vec{b} e \vec{v}=\vec{a}-\vec{b}. Primeiro calcule o produto escalar expandindo usando distributividade:
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}.
Dois fatos que usamos aqui:
  • \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^{2} e \vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^{2}.
  • O produto escalar é comutativo: \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}.
    Portanto os termos do meio se cancelam:
-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}=-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0,
e ficamos com
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}.

Passo 4

Agora usamos a hipótese do enunciado: \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|. Elevando ao quadrado obtemos \|\vec{a}\|^{2}=\|\vec{b}\|^{2}. Substituindo na igualdade do passo anterior,
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}=0.
Logo o produto escalar entre \vec{a}+\vec{b} e \vec{a}-\vec{b} é zero.

Passo 5

Interprete o resultado usando a fórmula do passo 2. Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e ambos \vec{u} e \vec{v} são vetores não nulos, então \cos\theta=0 e portanto \theta=90^\circ. Assim, exceto em casos degenerados em que um dos vetores \vec{a}+\vec{b} ou \vec{a}-\vec{b} seja o vetor nulo (por exemplo se \vec{a}=\vec{b} então \vec{a}-\vec{b}=\vec{0}, caso em que o ângulo não está definido), concluímos que os vetores \vec{a}+\vec{b} e \vec{a}-\vec{b} são ortogonais e formam um ângulo de 90^\circ.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome \vec{a}=(1,0) e \vec{b}=(0,1). Tem-se \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|=1. Então \vec{a}+\vec{b}=(1,1) e \vec{a}-\vec{b}=(1,-1). O produto escalar é 1\cdot1+1\cdot(-1)=0, confirmando que o ângulo é 90^\circ. Bom sinal de que a conta geral funciona.

Resposta

90^\circ

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