QUESTÃO 10

O valor da integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{x / y} d y d x
é igual a
(A) \frac{1-e}{2}
(B) e-1
(C) \frac{e}{2}
(D) \frac{e-1}{2}
(E) \frac{e+1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} e^{x/y}\,dy\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de integração externa é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x, a variável interna y varia de y=x até y=1.
  • O integrando é e^{x/y}.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desta integral (há alternativas listadas, devemos obter o valor que corresponde a uma delas).

Passo 2

Identificar a região de integração no plano xy (isso ajuda a reescrever a integral trocando a ordem de integração). A região D dada pelos limites é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x\le y\le1\}.
Em palavras: todos os pontos entre as retas y=x e y=1, com x de 0 a 1 — é um triângulo retângulo no primeiro quadrante com vértices (0,0), (1,1) e (0,1).
Por que isso ajuda? Porque integrar primeiro em y pode ser difícil com o integrando e^{x/y}. Se invertermos a ordem, para cada y fixo o intervalo em x será simples (de 0 até y), e a integração em x fica direta. Antes de trocar a ordem, é bom checar que a troca é válida: o integrando é contínuo em toda a região exceto possivelmente no ponto (0,0), que é de medida zero, então a integral é impropriamente bem comportada e podemos trocar a ordem sem problema (na prática isto é algo padrão quando o integrando é não negativa ou integrável).

Passo 3

Trocar a ordem de integração usando a descrição da região D. Para (x,y)\in D escrevemos primeiro y variando e depois x:
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; 0\le x\le y\}.
Portanto a integral original pode ser escrita como
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} e^{x/y}\,dy\,dx \;=\; \int_{0}^{1}\int_{0}^{y} e^{x/y}\,dx\,dy.
Trocar a ordem torna a integração interior (em x) mais simples, porque y aparece como parâmetro.

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{y} e^{x/y}\,dx.
Fazemos a substituição linear usual para a exponencial: defina t=\dfrac{x}{y}. Então x=yt e dx = y\,dt. Quando x=0 temos t=0; quando x=y temos t=1. Assim
\int_{0}^{y} e^{x/y}\,dx = \int_{0}^{1} e^{t}\cdot y\,dt = y\int_{0}^{1} e^{t}\,dt.
Aqui usei que a integral de e^{t} é e^{t}; ou seja,
\int_{0}^{1} e^{t}\,dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1}=e-1.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{y} e^{x/y}\,dx = y(e-1).

Passo 5

Substituir o resultado da integral interna na integral externa e calcular:
\int_{0}^{1}\left(y(e-1)\right)\,dy = (e-1)\int_{0}^{1} y\,dy.
Calcule a integral de y: uma primitiva de y é y^{2}/2, então
\int_{0}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Logo
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} e^{x/y}\,dy\,dx = (e-1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e conferência com as alternativas: o valor encontrado é \dfrac{e-1}{2}, o que corresponde à alternativa (D). Boa — a troca de ordem foi a chave para tornar a integral direta.

Resposta

\dfrac{e-1}{2}

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