QUESTÃO 10
O valor da integral iterada
é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral iterada
Informações relevantes fornecidas:
- A variável de integração externa é
com . - Para cada
, a variável interna varia de até . - O integrando é
. - A pergunta é: qual é o valor numérico desta integral (há alternativas listadas, devemos obter o valor que corresponde a uma delas).
Passo 2
Identificar a região de integração no plano
(isso ajuda a reescrever a integral trocando a ordem de integração). A região
dada pelos limites é
Em palavras: todos os pontos entre as retas
e
, com
de
a
— é um triângulo retângulo no primeiro quadrante com vértices
,
e
.
Por que isso ajuda? Porque integrar primeiro em
pode ser difícil com o integrando
. Se invertermos a ordem, para cada
fixo o intervalo em
será simples (de
até
), e a integração em
fica direta. Antes de trocar a ordem, é bom checar que a troca é válida: o integrando é contínuo em toda a região exceto possivelmente no ponto
, que é de medida zero, então a integral é impropriamente bem comportada e podemos trocar a ordem sem problema (na prática isto é algo padrão quando o integrando é não negativa ou integrável).
Passo 3
Trocar a ordem de integração usando a descrição da região
. Para
escrevemos primeiro
variando e depois
:
Portanto a integral original pode ser escrita como
Trocar a ordem torna a integração interior (em
) mais simples, porque
aparece como parâmetro.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Fazemos a substituição linear usual para a exponencial: defina
. Então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Aqui usei que a integral de
é
; ou seja,
Portanto a integral interna vale
Passo 5
Substituir o resultado da integral interna na integral externa e calcular:
Calcule a integral de
: uma primitiva de
é
, então
Logo
Passo 6
Interpretação final e conferência com as alternativas: o valor encontrado é
, o que corresponde à alternativa (D). Boa — a troca de ordem foi a chave para tornar a integral direta.