Questão 8
Resposta: A
Resolução:
Queremos determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
no domínio
1) Pontos críticos no interior de
Considere
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Logo, o único ponto crítico no interior é
Verificamos que ele pertence ao domínio, pois
Agora calculamos o valor da função nesse ponto:
2) Fronteira do domínio
Na fronteira, temos
Daí,
Substituindo isso na função:
Simplificando:
Portanto, na fronteira, basta estudar a função
Derivando:
Igualando a zero:
Assim, na fronteira, devemos testar:
- Vértices da fronteira e pontos obtidos
a) Para
:
Como
segue que
Logo, o ponto é
e
b) Para
:
Como
segue que
Logo, o ponto é
e
c) Para
:
Agora encontramos os pontos correspondentes na fronteira:
Logo, os pontos são
e em ambos
- Comparação dos valores
Os valores obtidos foram:
- no ponto crítico interior:
- na fronteira:
Comparando todos os valores:
concluímos que:
- o máximo absoluto é
- o mínimo absoluto é
Portanto, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
em
são, respectivamente,
Assim, a alternativa correta é a A.
Resposta: A
Resolução:
a) Para
Passo 1
O enunciado pede: determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
no domínio
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio
é o disco fechado de raio centrado na origem, isto é, todos os pontos com . - Como
é compacto e é contínua, sabemos que existem valores máximos e mínimos absolutos atingidos em .
As perguntas explícitas: qual é o valor máximo absoluto deem e qual é o valor mínimo absoluto de em , e onde eles são atingidos.
Passo 2
Plano de ataque (explicação didática do método que vamos usar):
- Primeiro procurar pontos críticos de
no interior do domínio resolvendo . Esses pontos são candidatos a extremos locais; se estiverem no interior de podem ser máximos ou mínimos locais. - Em seguida analisar a fronteira
(o círculo ). Como a fronteira é uma curva fechada, reduzimos o problema a uma função de uma variável ao usar a restrição da fronteira (ex.: eliminar por ou usar parâmetro trigonométrico). Depois encontramos extremos dessa função restrita (derivar e testar extremos críticos e extremos nos pontos finais do intervalo). - Por fim comparamos os valores obtidos nos candidatos do interior e na fronteira; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Motivo teórico rápido: extrema absoluta de função contínua em conjunto compacto ocorre em pontos críticos internos ou na fronteira; por isso precisamos checar ambos.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos internos: calcular derivadas parciais.
Igualando ao vetor zero:
Logo existe um único ponto crítico no plano:
Verificar que está no domínio
:
portanto o ponto pertence ao interior de
.
Passo 4
Avaliar
no ponto crítico e classificar localmente:
Para classificar, calculemos as segundas derivadas (Hessiano):
A matriz Hessiana é positiva definida se
e
. Aqui
logo o Hessiano é positivo definido e
é um mínimo local. Esse valor
é candidato a mínimo absoluto (será confirmado ao comparar com a fronteira).
Passo 5
Analisar a fronteira
. Substituir
na expressão de
para reduzir a uma função de uma variável (observe que, na fronteira, os pontos com a mesma
podem ter
, mas
depende de
então o sinal de
não afeta o valor):
Simplificando:
Agora encontramos extremos de
no intervalo
.
Passo 6
Derivar
e achar pontos críticos na fronteira:
Igualando a zero:
Além desse ponto interior do intervalo, devemos testar os extremos do intervalo
e
. Portanto testar
,
e
.
Passo 7
Calcular os valores:
a) Para
(então
porque
):
Portanto
.
b) Para
(então
):
Portanto
.
c) Para
: calcular diretamente
Aqui os pontos na fronteira correspondentes a
satisfazem
Logo os pontos são
e
, ambos com valor
.
Passo 8
Comparar todos os candidatos:
- valor no ponto crítico interior:
em ; - valores na fronteira:
em , em , e em .
Ordenando:
.
Portanto o menor valor encontrado é
(mínimo absoluto) e o maior é
(máximo absoluto). Os pontos onde esses extremos são atingidos foram identificados acima.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto: em
Mínimo absoluto: