Questão 8
Resposta: A
Resolução:
Queremos determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
z=x^{2}+2 y^{2}-x
no domínio
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} .

1) Pontos críticos no interior de D

Considere
f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x .
Calculamos as derivadas parciais:
f_{x}=2 x-1, \quad f_{y}=4 y .
Igualando a zero:
\begin{gathered} 2 x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{2}, \\\\ 4 y=0 \quad \Rightarrow \quad y=0 . \end{gathered}
Logo, o único ponto crítico no interior é
\left(\frac{1}{2}, 0\right) .
Verificamos que ele pertence ao domínio, pois
\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+0^{2}=\frac{1}{4} \leq 1 .
Agora calculamos o valor da função nesse ponto:
f\left(\frac{1}{2}, 0\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2 \cdot 0^{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} .

2) Fronteira do domínio

Na fronteira, temos
x^{2}+y^{2}=1 .
Daí,
y^{2}=1-x^{2} .
Substituindo isso na função:
\begin{gathered} f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x \\\ f(x)=x^{2}+2\left(1-x^{2}\right)-x . \end{gathered}
Simplificando:
f(x)=x^{2}+2-2 x^{2}-x=2-x^{2}-x .
Portanto, na fronteira, basta estudar a função
g(x)=2-x^{2}-x, \quad-1 \leq x \leq 1 .
Derivando:
g^{\prime}(x)=-2 x-1
Igualando a zero:
-2 x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{2} .
Assim, na fronteira, devemos testar:
x=-\frac{1}{2}, \quad x=-1, \quad x=1 .
  1. Vértices da fronteira e pontos obtidos
    a) Para x=-1 :
g(-1)=2-(-1)^{2}-(-1)=2-1+1=2 .
Como
x=-1 \quad \text { e } \quad x^{2}+y^{2}=1,
segue que
y=0 .
Logo, o ponto é
(-1,0),
e
f(-1,0)=2
b) Para x=1 :
g(1)=2-1-1=0 .
Como
x=1 \quad \text { e } \quad x^{2}+y^{2}=1,
segue que
y=0 .
Logo, o ponto é
(1,0),
e
f(1,0)=0 .
c) Para x=-\frac{1}{2} :
g\left(-\frac{1}{2}\right)=2-\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4} .
Agora encontramos os pontos correspondentes na fronteira:
\begin{aligned} x^{2}+y^{2}=1 & \Rightarrow\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=1 \\\ \frac{1}{4}+y^{2}=1 & \Rightarrow y^{2}=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad y= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} . \end{aligned}
Logo, os pontos são
\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad \text { e } \quad\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),
e em ambos
f\left(-\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{9}{4} .
  1. Comparação dos valores
Os valores obtidos foram:
  • no ponto crítico interior:
f\left(\frac{1}{2}, 0\right)=-\frac{1}{4} ;
  • na fronteira:
f(-1,0)=2, \quad f(1,0)=0, \quad f\left(-\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{9}{4} .
Comparando todos os valores:
-\frac{1}{4}, \quad 0, \quad 2, \quad \frac{9}{4},
concluímos que:
  • o máximo absoluto é
\begin{array}{|l|} \hline \frac{9}{4} \\\ \hline \end{array}
  • o mínimo absoluto é
-\frac{1}{4} .
Portanto, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de z em D são, respectivamente,
\frac{9}{4} \mathrm{e}-\frac{1}{4} .
Assim, a alternativa correta é a A.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
z = x^{2} + 2y^{2} - x
no domínio
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2} \le 1\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-x.
  • O domínio D é o disco fechado de raio 1 centrado na origem, isto é, todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Como D é compacto e f é contínua, sabemos que existem valores máximos e mínimos absolutos atingidos em D.
    As perguntas explícitas: qual é o valor máximo absoluto de f em D e qual é o valor mínimo absoluto de f em D, e onde eles são atingidos.

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática do método que vamos usar):
  • Primeiro procurar pontos críticos de f no interior do domínio resolvendo \nabla f = 0. Esses pontos são candidatos a extremos locais; se estiverem no interior de D podem ser máximos ou mínimos locais.
  • Em seguida analisar a fronteira \partial D (o círculo x^{2}+y^{2}=1). Como a fronteira é uma curva fechada, reduzimos o problema a uma função de uma variável ao usar a restrição da fronteira (ex.: eliminar y por y^{2}=1-x^{2} ou usar parâmetro trigonométrico). Depois encontramos extremos dessa função restrita (derivar e testar extremos críticos e extremos nos pontos finais do intervalo).
  • Por fim comparamos os valores obtidos nos candidatos do interior e na fronteira; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
    Motivo teórico rápido: extrema absoluta de função contínua em conjunto compacto ocorre em pontos críticos internos ou na fronteira; por isso precisamos checar ambos.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos internos: calcular derivadas parciais.
f_x = 2x - 1,\qquad f_y = 4y.
Igualando ao vetor zero:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2},
4y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Logo existe um único ponto crítico no plano:
\left(\tfrac{1}{2},0\right).
Verificar que está no domínio D:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+0^{2}=\tfrac{1}{4}\le 1,
portanto o ponto pertence ao interior de D.

Passo 4

Avaliar f no ponto crítico e classificar localmente:
f\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+2\cdot 0^{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}.
Para classificar, calculemos as segundas derivadas (Hessiano):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=4,\qquad f_{xy}=0.
A matriz Hessiana é positiva definida se f_{xx}>0 e \det(H)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}>0. Aqui
f_{xx}=2>0,\qquad \det(H)=2\cdot 4 - 0 = 8>0,
logo o Hessiano é positivo definido e \left(\tfrac{1}{2},0\right) é um mínimo local. Esse valor -\tfrac{1}{4} é candidato a mínimo absoluto (será confirmado ao comparar com a fronteira).

Passo 5

Analisar a fronteira x^{2}+y^{2}=1. Substituir y^{2}=1-x^{2} na expressão de f para reduzir a uma função de uma variável (observe que, na fronteira, os pontos com a mesma x podem ter y=\pm\sqrt{1-x^{2}}, mas f depende de y^{2} então o sinal de y não afeta o valor):
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-x = x^{2} + 2(1-x^{2}) - x.
Simplificando:
g(x)=2 - x^{2} - x,\qquad \text{com } -1\le x\le 1.
Agora encontramos extremos de g no intervalo [-1,1].

Passo 6

Derivar g e achar pontos críticos na fronteira:
g'(x) = -2x - 1.
Igualando a zero:
-2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Além desse ponto interior do intervalo, devemos testar os extremos do intervalo x=-1 e x=1. Portanto testar x=-1, x=-\tfrac{1}{2} e x=1.

Passo 7

Calcular os valores:
a) Para x=-1 (então y=0 porque x^{2}+y^{2}=1):
g(-1)=2-(-1)^{2}-(-1)=2-1+1=2.
Portanto f(-1,0)=2.
b) Para x=1 (então y=0):
g(1)=2-1-1=0.
Portanto f(1,0)=0.
c) Para x=-\tfrac{1}{2}: calcular diretamente
g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=2-\left(\tfrac{1}{4}\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=2-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}=2+\tfrac{1}{4}=\tfrac{9}{4}.
Aqui os pontos na fronteira correspondentes a x=-\tfrac{1}{2} satisfazem
\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\tfrac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo os pontos são \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) e \left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right), ambos com valor f=\tfrac{9}{4}.

Passo 8

Comparar todos os candidatos:
  • valor no ponto crítico interior: -\tfrac{1}{4} em \left(\tfrac{1}{2},0\right);
  • valores na fronteira: 2 em (-1,0), 0 em (1,0), e \tfrac{9}{4} em \left(-\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Ordenando: -\tfrac{1}{4} < 0 < 2 < \tfrac{9}{4}.
Portanto o menor valor encontrado é -\tfrac{1}{4} (mínimo absoluto) e o maior é \tfrac{9}{4} (máximo absoluto). Os pontos onde esses extremos são atingidos foram identificados acima.

Resposta

Máximo absoluto: \dfrac{9}{4} em \left(-\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
Mínimo absoluto: -\dfrac{1}{4} em \left(\dfrac{1}{2},0\right)

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