Questão 106 (IME - 2021). Determine a soma dos coeficientes de x^{3} na expansão de (1+x)^{4}\left(2-x^{2}\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a soma dos coeficientes de x^{3} na expansão de (1+x)^{4}\left(2-x^{2}\right)^{5}.
Informações dadas:
  • O polinômio a expandir é (1+x)^{4}\left(2-x^{2}\right)^{5}.
  • Quer-se o coeficiente do termo x^{3} na expansão completa desse produto (ou seja, o número que multiplica x^{3} depois de multiplicar e simplificar).
  • As potências máximas de cada fator são: (1+x)^{4} tem termos até x^{4} e \left(2-x^{2}\right)^{5} tem termos em potências pares de x até x^{10}.

Passo 2

Ideia essencial (explicada didaticamente): quando multiplicamos dois polinômios, o coeficiente de x^{3} no produto é a soma dos produtos dos coeficientes de termos cujos expoentes somam 3. Ou seja, se escrevemos
(1+x)^{4}=\sum_{i\ge0} a_{i}x^{i},\qquad (2-x^{2})^{5}=\sum_{j\ge0} b_{j}x^{j},
então o coeficiente de x^{3} em (1+x)^{4}(2-x^{2})^{5} é
\sum_{i+j=3} a_{i}b_{j}.
Observe um ponto importante aqui: \left(2-x^{2}\right)^{5} só tem termos com potências pares ( x^{0},x^{2},x^{4},\dots), portanto entre j possíveis que satisfazem i+j=3 só podem ocorrer j=0 e j=2 (pois j ímpar não aparece nesse segundo fator). Assim só precisamos dos coeficientes a_{3},a_{1} do primeiro fator e b_{0},b_{2} do segundo.

Passo 3

Lembrando a fórmula do binômio de Newton (aqui explicada): para inteiro n\ge0,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Aplicando com n=4 temos explicitamente os coeficientes do primeiro fator:
(1+x)^{4}=\binom{4}{0}x^{0}+\binom{4}{1}x^{1}+\binom{4}{2}x^{2}+\binom{4}{3}x^{3}+\binom{4}{4}x^{4}.
Calculemos os coeficientes que precisamos:
\binom{4}{1}=\dfrac{4!}{1!3!}=4,\qquad \binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4.
Portanto a_{1}=4 e a_{3}=4.

Passo 4

Agora expandimos \left(2-x^{2}\right)^{5} também pelo binômio, considerando 2 como uma constante e -x^{2} como a outra parcela:
(2-x^{2})^{5}=\sum_{m=0}^{5} \binom{5}{m} 2^{\,5-m}(-x^{2})^{m} =\sum_{m=0}^{5} \binom{5}{m} 2^{\,5-m}(-1)^{m} x^{2m}.
Dessa forma o termo geral tem potência x^{2m}. Os coeficientes que precisamos são:
  • Para x^{0} (isto é, 2m=0\Rightarrow m=0):
b_{0}=\binom{5}{0}2^{5-0}(-1)^{0}=1\cdot 2^{5}\cdot 1=2^{5}=32.
  • Para x^{2} (isto é, 2m=2\Rightarrow m=1):
b_{2}=\binom{5}{1}2^{5-1}(-1)^{1}=5\cdot 2^{4}\cdot(-1)=5\cdot16\cdot(-1)=-80.

Passo 5

Agora somamos as contribuições que formam x^{3}. Como explicado no Passo 2, só existem dois pares (i,j) com i+j=3 que geram termos não nulos: (i=3,j=0) e (i=1,j=2). Logo o coeficiente desejado é
a_{3}b_{0}+a_{1}b_{2}.
Substituindo os valores que calculamos:
a_{3}b_{0}+a_{1}b_{2}=4\cdot 32 + 4\cdot(-80).
Calculemos passo a passo:
4\cdot 32=128,\qquad 4\cdot(-80)=-320,
e portanto
128+(-320)=-192.

Resposta

-192

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