Resolva os problemas a seguir:
Calcule o termo máximo do desenvolvimento de \left(1+\frac{1}{2}\right)^{120}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o termo máximo do desenvolvimento de \left(1+\tfrac{1}{2}\right)^{120}.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(1+\tfrac{1}{2}\right)^{120}.
  • O desenvolvimento em série binomial tem termos positivos, logo existe um termo máximo.
  • Não foi pedido avaliar numericamente o número enorme, apenas identificar e escrever o termo de maior valor.

Passo 2

Escrevendo o termo genérico da expansão binomial (com indexação usual começando em k=0):
T_k=\binom{120}{k}\,1^{120-k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}=\binom{120}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k},
onde k varia por k=0,1,2,\dots,120.
Explicação: pela fórmula do binômio de Newton, o k-ésimo termo (começando em k=0) de (a+b)^n é \binom{n}{k}a^{n-k}b^k. Aqui a=1, b=\tfrac{1}{2} e n=120.

Passo 3

Para achar o k que dá o termo máximo, vamos comparar termos consecutivos. Calcule a razão
\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{\binom{120}{k+1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{\binom{120}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}} = \frac{\binom{120}{k+1}}{\binom{120}{k}}\cdot\frac{1}{2}.
Usando \displaystyle\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1} obtemos
\frac{T_{k+1}}{T_k}=\frac{120-k}{k+1}\cdot\frac{1}{2}.
Didática: comparar T_{k+1} com T_k é o jeito padrão de ver se a sequência de termos cresce ou decresce. Se a razão é maior que 1, a sequência cresce nesse passo; se menor que 1, decresce.

Passo 4

Encontrar os k tais que T_{k+1}\ge T_k (crescimento) e onde a razão passa a ser menor que 1 (passo de máximo).
Impondo \dfrac{T_{k+1}}{T_k}\ge 1 temos
\frac{120-k}{k+1}\cdot\frac{1}{2}\ge 1.
Multiplicando ambos os lados por 2(k+1) (positivo) obtemos
120-k \ge 2(k+1).
Desenvolvendo,
120-k \ge 2k+2 \quad\Rightarrow\quad 120-2 \ge 3k \quad\Rightarrow\quad 118 \ge 3k.
Portanto
k \le \frac{118}{3}=39{,}333\ldots
Como k é inteiro, isso significa que para todo k\le 39 vale \dfrac{T_{k+1}}{T_k}\ge1, ou seja os termos crescem até pelo menos k=39 (isto é, T_{40}\ge T_{39}). Já para k\ge 40 a razão passa a ser menor que 1, então os termos começam a decrescer a partir de k=40.

Passo 5

Conclusão sobre a posição do termo máximo:
  • A sequência de termos cresce até k=39 e em k=40 já temos T_{40}\ge T_{39} e, como a razão para k=40 é menor que 1, T_{41}<T_{40}. Logo o termo máximo ocorre para k=40.
Verificação numérica rápida das razões-chave (para dar confiança):
\frac{T_{40}}{T_{39}}=\frac{120-39}{40}\cdot\frac{1}{2}=\frac{81}{40}\cdot\frac{1}{2}=\frac{81}{80}>1,
\frac{T_{41}}{T_{40}}=\frac{120-40}{41}\cdot\frac{1}{2}=\frac{80}{41}\cdot\frac{1}{2}=\frac{80}{82}<1.
Isto confirma que T_{40} é o maior termo.
Observação intuitiva: para (1+x)^n com x>0, o índice do termo máximo costuma ficar próximo de \dfrac{n x}{1+x}. Aqui x=\tfrac{1}{2} \dfrac{120\cdot(1/2)}{1+1/2}=40, consistente com o resultado.

Passo 6

Escrever o valor do termo máximo explicitamente:
T_{40}=\binom{120}{40}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{40}=\frac{\binom{120}{40}}{2^{40}}.

Resposta

\displaystyle \binom{120}{40}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{40}

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