Resolva os problemas a seguir:
Calcule o termo máximo do desenvolvimento de
.
Calcule o termo máximo do desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado pede: calcular o termo máximo do desenvolvimento de
.
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - O desenvolvimento em série binomial tem termos positivos, logo existe um termo máximo.
- Não foi pedido avaliar numericamente o número enorme, apenas identificar e escrever o termo de maior valor.
Passo 2
Escrevendo o termo genérico da expansão binomial (com indexação usual começando em
):
onde
varia por
.
Explicação: pela fórmula do binômio de Newton, o
-ésimo termo (começando em
) de
é
. Aqui
,
e
.
Passo 3
Para achar o
que dá o termo máximo, vamos comparar termos consecutivos. Calcule a razão
Usando
obtemos
Didática: comparar
com
é o jeito padrão de ver se a sequência de termos cresce ou decresce. Se a razão é maior que 1, a sequência cresce nesse passo; se menor que 1, decresce.
Passo 4
Encontrar os
tais que
(crescimento) e onde a razão passa a ser menor que 1 (passo de máximo).
Impondo
temos
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) obtemos
Desenvolvendo,
Portanto
Como
é inteiro, isso significa que para todo
vale
, ou seja os termos crescem até pelo menos
(isto é,
). Já para
a razão passa a ser menor que 1, então os termos começam a decrescer a partir de
.
Passo 5
Conclusão sobre a posição do termo máximo:
- A sequência de termos cresce até
e em já temos e, como a razão para é menor que 1, . Logo o termo máximo ocorre para .
Verificação numérica rápida das razões-chave (para dar confiança):
Isto confirma que
é o maior termo.
Observação intuitiva: para
com
, o índice do termo máximo costuma ficar próximo de
. Aqui
dá
, consistente com o resultado.
Passo 6
Escrever o valor do termo máximo explicitamente: