Questão 106 (IME - 2021). Determine a soma dos coeficientes de
na expansão de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a soma dos coeficientes de
na expansão de
.
Informações dadas:
- O polinômio a expandir é
. - Quer-se o coeficiente do termo
na expansão completa desse produto (ou seja, o número que multiplica depois de multiplicar e simplificar). - As potências máximas de cada fator são:
tem termos até e tem termos em potências pares de até .
Passo 2
Ideia essencial (explicada didaticamente): quando multiplicamos dois polinômios, o coeficiente de
no produto é a soma dos produtos dos coeficientes de termos cujos expoentes somam
. Ou seja, se escrevemos
então o coeficiente de
em
é
Observe um ponto importante aqui:
só tem termos com potências pares (
), portanto entre
possíveis que satisfazem
só podem ocorrer
e
(pois
ímpar não aparece nesse segundo fator). Assim só precisamos dos coeficientes
do primeiro fator e
do segundo.
Passo 3
Lembrando a fórmula do binômio de Newton (aqui explicada): para inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial. Aplicando com
temos explicitamente os coeficientes do primeiro fator:
Calculemos os coeficientes que precisamos:
Portanto
e
.
Passo 4
Agora expandimos
também pelo binômio, considerando
como uma constante e
como a outra parcela:
Dessa forma o termo geral tem potência
. Os coeficientes que precisamos são:
- Para
(isto é, ):
- Para
(isto é, ):
Passo 5
Agora somamos as contribuições que formam
. Como explicado no Passo 2, só existem dois pares
com
que geram termos não nulos:
e
. Logo o coeficiente desejado é
Substituindo os valores que calculamos:
Calculemos passo a passo:
e portanto