Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá a soma
- Os termos têm a forma
para . Portanto o somatório tem termos. - O enunciado pede duas coisas:
- Deduzir uma fórmula para
em função de . - Calcular o valor da soma dos
primeiros termos.
- Deduzir uma fórmula para
Observação importante: os “50 primeiros termos” correspondem a
, ou seja, ao caso
.
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o termo genérico
usando a fórmula do cubo da soma.
Lembrete da fórmula do cubo da soma: para quaisquer
e
vale
Aplicando com
e
obtemos
Calculando cada termo:
Logo
Passo 3
Agora vamos somar essa expressão sobre
de
até
. Assim
Usamos linearidade da soma para separar:
Agora preciso das fórmulas conhecidas para somas de potências (essas são ferramentas padrão; explico rapidamente o que cada uma significa):
- Soma dos inteiros de
a :
Intuição rápida: pares
dão
termos com soma
em média; o resultado formal é essa fórmula.
- Soma dos quadrados:
Essa fórmula pode ser demonstrada por indução ou usando manipulações algébricas; é uma fórmula padrão que convém memorizar.
- Soma dos cubos:
Isso diz que a soma dos primeiros
cubos é o quadrado da soma dos primeiros
inteiros. Também é uma identidade clássica (pode ser provada por indução).
- Soma da constante
por vezes:
Passo 4
Substituo essas fórmulas na expressão de
. Primeiro escrevo cada soma multiplicada pelos coeficientes:
Agora simplifico cada termo passo a passo.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Somando tudo:
É conveniente fatorar um
:
Simplificando o que está dentro:
Somando as parcelas internas temos
Portanto uma forma factorizada e elegante é
Se preferir a forma expandida:
Ambas são equivalentes; a primeira costuma ser mais compacta.
Passo 5
Agora calculo a soma dos
primeiros termos. Como o somatório acima tem índices
até
, os
primeiros termos correspondem a
(pois
termos). Substituo
na forma fatorada:
Calculo passo a passo.
-
. -
.
Agora os termos internos:
Somando:
Multiplico por
: