Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
S=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Deduzir uma fórmula fechada para S=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}.
  • Calcular o valor dessa soma para n=50 (ou seja, os 50 primeiros termos).
Não há outros dados numéricos além de n.

Passo 2

Vamos lembrar duas somas simples que usaremos (e mostrar por que valem):
  • Soma de 1 repetida n vezes:
\sum_{k=1}^{n}1 = n.
Isto é óbvio: somar 1 n vezes dá n.
  • Soma dos primeiros n inteiros (fórmula de Gauss):
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}.
Prova rápida (pareamento): escreva a soma na ordem direta e na ordem reversa e some termo a termo:
(1+2+\dots +n) + (n+(n-1)+\dots +1) = n(n+1).
Cada coluna soma n+1 e há n colunas; dividindo por 2 obtemos a fórmula acima.
Essas duas fórmulas serão úteis para eliminar termos ao resolver a soma dos quadrados.

Passo 3

Vamos usar uma identidade algébrica que gera k^{2} quando fazemos uma diferença telescópica. Calcule:
(k+1)^{3}-k^{3} = 3k^{2}+3k+1.
Isto vem de expandir (k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1 e subtrair k^{3}.
Agora some essa identidade para k=1 até k=n:
\sum_{k=1}^{n}\big((k+1)^{3}-k^{3}\big) = \sum_{k=1}^{n}\big(3k^{2}+3k+1\big).

Passo 4

A soma do lado esquerdo é telescópica:
\sum_{k=1}^{n}\big((k+1)^{3}-k^{3}\big) = (n+1)^{3}-1^{3}=(n+1)^{3}-1.
O lado direito separa-se em três somas conhecidas:
\sum_{k=1}^{n}\big(3k^{2}+3k+1\big) = 3\sum_{k=1}^{n}k^{2} + 3\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}1.
Usando as fórmulas do Passo 2 isto vira:
3\sum_{k=1}^{n}k^{2} + 3\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n.
Portanto, igualando os dois lados:
(n+1)^{3}-1 = 3\sum_{k=1}^{n}k^{2} + 3\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n.

Passo 5

Isolando \sum_{k=1}^{n}k^{2} (denotando-a por S) obtemos:
3S = (n+1)^{3}-1 - 3\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n.
Faço a simplificação passo a passo. Primeiro expando (n+1)^{3}:
(n+1)^{3}-1 = n^{3}+3n^{2}+3n.
Então
3S = n^{3}+3n^{2}+3n - \frac{3n(n+1)}{2} - n.
Agrupando 3n - n = 2n:
3S = n^{3}+3n^{2}+2n - \frac{3n^{2}+3n}{2}.
Colocando tudo sobre denominador 2:
3S = \frac{2n^{3}+6n^{2}+4n - (3n^{2}+3n)}{2} = \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{2}.
Factorizando o numerador:
2n^{3}+3n^{2}+n = n(2n^{2}+3n+1) = n(n+1)(2n+1).
Logo
3S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.
Finalmente dividindo por 3:
S=\sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Prontinho — essa é a fórmula fechada pedida. Guarde-a; é muito usada em provas 😃

Passo 6

Agora calculamos a soma dos 50 primeiros termos, isto é, substituímos n=50:
\sum_{k=1}^{50}k^{2} = \frac{50\cdot51\cdot(2\cdot50+1)}{6} = \frac{50\cdot51\cdot101}{6}.
Simplifico:
\frac{50\cdot51\cdot101}{6} = \frac{25\cdot51\cdot101}{3}
e como 51/3=17 fica
25\cdot17\cdot101.
Calculo final:
25\cdot17 = 425,\qquad 425\cdot101 = 425\cdot(100+1)=42500+425=42925.

Passo 7

Cheque rápido de sanidade: para n=3 a fórmula dá
\frac{3\cdot4\cdot7}{6} = \frac{84}{6}=14,
e 1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14. Perfeito — fórmula consistente.

Resposta

\sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=1}^{50}k^{2} = 42925

Exercícios relacionados