Questão 3 [10pts] - Um pêndulo simples de comprimento b e massa m é conectado a um suporte sem massa movendo-se horizontalmente para a direita, com aceleração constante a. Considere
.
Pede-se:
(a) Uma representação esquemática do sistema.
(b) As equações de movimento do sistema.
(c) A energia mecânica do sistema é conservada? Justifique sua resposta.
(a) Uma representação esquemática do sistema.
(b) As equações de movimento do sistema.
(c) A energia mecânica do sistema é conservada? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo simples (massa
, comprimento
) preso a um suporte sem massa que se move horizontalmente para a direita com aceleração constante
. Foi dada a condição
. As perguntas são:
(a) fornecer uma representação esquemática do sistema;
(b) obter as equações de movimento do sistema;
(c) dizer se a energia mecânica do sistema é conservada e justificar.
(a) fornecer uma representação esquemática do sistema;
(b) obter as equações de movimento do sistema;
(c) dizer se a energia mecânica do sistema é conservada e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- comprimento do fio:
; - massa do corpo:
; - suporte sem massa com movimento horizontal de aceleração constante
(direção para a direita); - condição inicial indicada:
(velocidade horizontal inicial nula); - pede-se diagrama, equações dinâmicas e análise de conservação de energia.
Passo 2
Representação esquemática e escolha de coordenadas (resposta à parte (a), mas aqui preparo as notações que vou usar).
- Escolho um referencial inercial fixo no chão.
- Denoto por
a abscissa horizontal do ponto de suspensão (pivot). O suporte move-se para a direita com aceleração , então . Se desejar tomar origem em com e , então , mas não precisaremos da expressão explícita sempre. - Defino o ângulo generalizado
do fio em relação à vertical (sinal: tomo quando o pé do pêndulo está deslocado para a direita). - Coordenadas da massa
no referencial inercial:
onde o eixo
é vertical positivo para cima e o pivot está em
.
Desenho esquemático (texto/ASCII):
Pivot —●--- (fio de comprimento
) — mass
Ângulo medido a partir da vertical: .
(O pivot desloca-se para a direita com aceleração .)
Pivot
Ângulo medido a partir da vertical:
(O pivot desloca-se para a direita com aceleração
Passo 3
Cálculo das velocidades e da energia cinética — construção do Lagrangiano.
- Derivo as coordenadas:
- A energia cinética da massa é
Substituindo
e
:
Expandindo e simplificando (observe que
):
Logo
Explicando cada termo:
-
é a energia cinética associada ao movimento angular relativo ao pivot; -
é o termo de correlação entre o movimento do pivot e o movimento angular (produto cruzado); -
é a energia cinética associada ao movimento do pivot (termo dependente do tempo conhecido).
Passo 4
Energia potencial e Lagrangiano.
- A energia potencial gravitacional (tomando
no pivot) é
- O Lagrangiano
fica
Observação: o termo
depende apenas do tempo (pois
é função prescrita), por isso não contribui para
nem para
diretamente na EL exceto via sua derivada temporal se necessário.
Passo 5
Derivação da equação de movimento via equação de Euler–Lagrange.
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada é
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada
Calculo das derivadas (passo a passo):
-
-
Derivando no tempo:
(Usei produto e cadeia:
.)
Agora aplico Euler–Lagrange:
Os termos com
cancelam, restando
Dividindo por
,
Passo 6
Equação final e simplificações (resposta à parte (b)).
- Como o suporte tem aceleração constante para a direita,
. Substituindo:
Esta é a equação de movimento não-linear do pêndulo com pivot acelerado horizontalmente.
Pequena discussão útil para prova:
- Aproximação de pequenos ângulos (
): a equação linearizada é
- Ponto de equilíbrio estático
(ângulo constante) obtém-se impondo e : isso dá
Interpretação: o fio se inclina formando um ângulo
em sentido oposto à aceleração (o pêndulo “inclina-se para trás”). Em módulo, o desvio da vertical é
.
Passo 7
Energia mecânica do sistema — expressão explícita.
- A energia mecânica (do corpo
considerada no referencial inercial) é
- Substituindo
e conhecidos, essa é uma função explícita de .
Passo 8
Verificação se
é conservada (resposta à parte (c)).
- Calculo rápido da taxa de variação da energia e uso da equação de movimento para simplificar. Diferenciando
e usando a equação obtida, chega-se (passos algébricos mostrados abaixo em resumo) à forma
onde
é a velocidade horizontal da massa e
sua aceleração horizontal. Outra forma mais direta e intuitiva do resultado é
- No caso do pivot sendo forçado externamente a ter aceleração constante
, em geral torna-se não nulo para ; assim não é zero em geral. Em palavras: o suporte em aceleração realiza (ou retira) trabalho sobre a massa através da força de reação no ponto de suspensão — logo a energia mecânica da massa isolada não é conservada.
Conclusão curta e física:
- A energia mecânica da massa
NÃO é conservada (exceto em casos especiais, por exemplo se e o pivot for fixo e não houver troca de energia com agente externo). A razão física é que o movimento do pivot (impulsionado por um agente externo) realiza trabalho sobre o pêndulo via a força de restrição, alterando a energia da massa.
Resposta
(a) Pivot desloca-se horizontalmente para a direita com aceleração
; o pêndulo de massa
e comprimento
faz um ângulo
com a vertical. Coordenadas da massa:
, com
.\n
(b) Equação de movimento (não linear):
(b) Equação de movimento (não linear):
(Linearizada para pequenos ângulos:
. Equilíbrio:
.)\n
(c) Não — a energia mecânica da massa não é conservada em geral, porque o suporte em aceleração (fornecido por um agente externo) faz trabalho sobre o pêndulo através da força de reação; portanto
na maioria dos casos (exceto situações especiais como
).
(c) Não — a energia mecânica da massa