Questão 3 [10pts] - Um pêndulo simples de comprimento b e massa m é conectado a um suporte sem massa movendo-se horizontalmente para a direita, com aceleração constante a. Considere \dot{x}(t=0)=0.
Pede-se:
(a) Uma representação esquemática do sistema.
(b) As equações de movimento do sistema.
(c) A energia mecânica do sistema é conservada? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo simples (massa m, comprimento b) preso a um suporte sem massa que se move horizontalmente para a direita com aceleração constante a. Foi dada a condição \dot{x}(t=0)=0. As perguntas são:
(a) fornecer uma representação esquemática do sistema;
(b) obter as equações de movimento do sistema;
(c) dizer se a energia mecânica do sistema é conservada e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • comprimento do fio: b;
  • massa do corpo: m;
  • suporte sem massa com movimento horizontal de aceleração constante a (direção para a direita);
  • condição inicial indicada: \dot{x}(0)=0 (velocidade horizontal inicial nula);
  • pede-se diagrama, equações dinâmicas e análise de conservação de energia.

Passo 2

Representação esquemática e escolha de coordenadas (resposta à parte (a), mas aqui preparo as notações que vou usar).
  • Escolho um referencial inercial fixo no chão.
  • Denoto por X_p(t) a abscissa horizontal do ponto de suspensão (pivot). O suporte move-se para a direita com aceleração a, então \ddot{X}_p(t)=a. Se desejar tomar origem em t=0 com X_p(0)=0 e \dot{X}_p(0)=0, então X_p(t)=\tfrac{1}{2}a t^2, mas não precisaremos da expressão explícita sempre.
  • Defino o ângulo generalizado \theta(t) do fio em relação à vertical (sinal: tomo \theta>0 quando o pé do pêndulo está deslocado para a direita).
  • Coordenadas da massa m no referencial inercial:
x(t) = X_p(t) + b\sin\theta(t), \qquad y(t) = -\,b\cos\theta(t),
onde o eixo y é vertical positivo para cima e o pivot está em y=0.
Desenho esquemático (texto/ASCII):
Pivot \xrightarrow{\\ \\ a\\ \\ } —●--- (fio de comprimento b) — mass m
Ângulo medido a partir da vertical: \theta.
(O pivot desloca-se para a direita com aceleração a.)

Passo 3

Cálculo das velocidades e da energia cinética — construção do Lagrangiano.
  • Derivo as coordenadas:
\dot{x} = \dot{X}_p + b\cos\theta\,\dot{\theta}, \qquad \dot{y} = b\sin\theta\,\dot{\theta}.
  • A energia cinética da massa é
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big).
Substituindo \dot{x} e \dot{y}:
\dot{x}^2+\dot{y}^2 = \big(\dot{X}_p + b\cos\theta\,\dot{\theta}\big)^2 + \big(b\sin\theta\,\dot{\theta}\big)^2.
Expandindo e simplificando (observe que \cos^2\theta+\sin^2\theta=1):
\dot{x}^2+\dot{y}^2 = \dot{X}_p^2 + 2\dot{X}_p\,b\cos\theta\,\dot{\theta} + b^2\dot{\theta}^2.
Logo
T = \tfrac{1}{2}m\big(b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{X}_p\cos\theta\,\dot{\theta} + \dot{X}_p^2\big).
Explicando cada termo:
  • \tfrac{1}{2}m b^2\dot{\theta}^2 é a energia cinética associada ao movimento angular relativo ao pivot;
  • m b\dot{X}_p\cos\theta\,\dot{\theta} é o termo de correlação entre o movimento do pivot e o movimento angular (produto cruzado);
  • \tfrac{1}{2}m\dot{X}_p^2 é a energia cinética associada ao movimento do pivot (termo dependente do tempo conhecido).

Passo 4

Energia potencial e Lagrangiano.
  • A energia potencial gravitacional (tomando y=0 no pivot) é
V = m g y = -m g b\cos\theta.
  • O Lagrangiano L=T-V fica
L = \tfrac{1}{2}m\big(b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{X}_p\cos\theta\,\dot{\theta} + \dot{X}_p^2\big) + m g b\cos\theta.
Observação: o termo \tfrac{1}{2}m\dot{X}_p^2 depende apenas do tempo (pois X_p(t) é função prescrita), por isso não contribui para \partial L/\partial\theta nem para \partial L/\partial\dot{\theta} diretamente na EL exceto via sua derivada temporal se necessário.

Passo 5

Derivação da equação de movimento via equação de Euler–Lagrange.
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada \theta é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta}=0.
Calculo das derivadas (passo a passo):
  1. \displaystyle \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = m b^2\dot{\theta} + m b\dot{X}_p\cos\theta.
  2. Derivando no tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) = m b^2\ddot{\theta} + m b\ddot{X}_p\cos\theta - m b\dot{X}_p\sin\theta\,\dot{\theta}.
(Usei produto e cadeia: \tfrac{d}{dt}(\cos\theta)= -\sin\theta\,\dot{\theta}.)
  1. \displaystyle \frac{\partial L}{\partial\theta} = -m b\dot{X}_p\sin\theta\,\dot{\theta} - m g b\sin\theta.
Agora aplico Euler–Lagrange:
\big(m b^2\ddot{\theta} + m b\ddot{X}_p\cos\theta - m b\dot{X}_p\sin\theta\,\dot{\theta}\big) - \big(-m b\dot{X}_p\sin\theta\,\dot{\theta} - m g b\sin\theta\big)=0.
Os termos com -m b\dot{X}_p\sin\theta\,\dot{\theta} cancelam, restando
m b^2\ddot{\theta} + m b\ddot{X}_p\cos\theta + m g b\sin\theta = 0.
Dividindo por m b,
b\ddot{\theta} + \ddot{X}_p\cos\theta + g\sin\theta = 0.

Passo 6

Equação final e simplificações (resposta à parte (b)).
  • Como o suporte tem aceleração constante para a direita, \ddot{X}_p(t)=a. Substituindo:
\boxed{\\ \ddot{\theta} + \frac{g}{b}\sin\theta + \frac{a}{b}\cos\theta = 0\\ }.
Esta é a equação de movimento não-linear do pêndulo com pivot acelerado horizontalmente.
Pequena discussão útil para prova:
  • Aproximação de pequenos ângulos ( \sin\theta\approx\theta,\\ \cos\theta\approx1): a equação linearizada é
\ddot{\theta} + \frac{g}{b}\,\theta + \frac{a}{b} = 0.
  • Ponto de equilíbrio estático \theta=\theta_0 (ângulo constante) obtém-se impondo \ddot{\theta}=0 e \dot{\theta}=0: isso dá
g\sin\theta_0 + a\cos\theta_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta_0 = -\frac{a}{g}.
Interpretação: o fio se inclina formando um ângulo |\theta_0|=\arctan\!\big(\tfrac{a}{g}\big) em sentido oposto à aceleração (o pêndulo “inclina-se para trás”). Em módulo, o desvio da vertical é \arctan(a/g).

Passo 7

Energia mecânica do sistema — expressão explícita.
  • A energia mecânica (do corpo m considerada no referencial inercial) é
E = T + V = \tfrac{1}{2}m\big(b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{X}_p\cos\theta\,\dot{\theta} + \dot{X}_p^2\big) - m g b\cos\theta.
  • Substituindo \dot{X}_p e \ddot{X}_p conhecidos, essa é uma função explícita de t,\theta,\dot{\theta}.

Passo 8

Verificação se E é conservada (resposta à parte (c)).
  • Calculo rápido da taxa de variação da energia e uso da equação de movimento para simplificar. Diferenciando E e usando a equação obtida, chega-se (passos algébricos mostrados abaixo em resumo) à forma
\frac{dE}{dt} = m\dot{X}_p\,\ddot{x},
onde \dot{x}=\dot{X}_p + b\cos\theta\,\dot{\theta} é a velocidade horizontal da massa e \ddot{x} sua aceleração horizontal. Outra forma mais direta e intuitiva do resultado é
\frac{dE}{dt} = \dot{X}_p\;\times\;(\text{potência entregue pela força de reação do pivot}).êççã
  • No caso do pivot sendo forçado externamente a ter aceleração constante a, em geral \dot{X}_p(t) torna-se não nulo para t>0; assim \frac{dE}{dt} não é zero em geral. Em palavras: o suporte em aceleração realiza (ou retira) trabalho sobre a massa através da força de reação no ponto de suspensão — logo a energia mecânica da massa isolada não é conservada.
Conclusão curta e física:
  • A energia mecânica da massa m NÃO é conservada (exceto em casos especiais, por exemplo se a=0 e o pivot for fixo e não houver troca de energia com agente externo). A razão física é que o movimento do pivot (impulsionado por um agente externo) realiza trabalho sobre o pêndulo via a força de restrição, alterando a energia da massa.

Resposta

(a) Pivot desloca-se horizontalmente para a direita com aceleração a; o pêndulo de massa m e comprimento b faz um ângulo \theta com a vertical. Coordenadas da massa: x=X_p(t)+b\sin\theta,\;y=-b\cos\theta, com \ddot{X}_p=a.\n
(b) Equação de movimento (não linear):
\ddot{\theta} + \frac{g}{b}\sin\theta + \frac{a}{b}\cos\theta = 0.
(Linearizada para pequenos ângulos: \ddot{\theta} + \dfrac{g}{b}\theta + \dfrac{a}{b}=0. Equilíbrio: \tan\theta_0 = -\dfrac{a}{g}.)\n
(c) Não — a energia mecânica da massa m não é conservada em geral, porque o suporte em aceleração (fornecido por um agente externo) faz trabalho sobre o pêndulo através da força de reação; portanto \dfrac{dE}{dt}\neq0 na maioria dos casos (exceto situações especiais como a=0).

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