(iii) Avalie o limite \lim _{x \rightarrow 2} f(x)\) se \(f(x)= \begin{cases}\frac{4\left(\sqrt{x^{3}-x^{2}}-\sqrt{x+2}\right)}{-x^{2}-3 x+10}, & \text { se } x>2 \\\ \frac{x^{3}-9}{5-x^{2}}, & \text { se } x<2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} f(x)
onde f\) é definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{4\bigl(\sqrt{x^{3}-x^{2}}-\sqrt{x+2}\bigr)}{-x^{2}-3x+10}, & \text{se } x>2,\\[6pt] \dfrac{x^{3}-9}{5-x^{2}}, & \text{se } x<2. \end{cases}
O que precisamos encontrar são os limites laterais \lim_{x\to2^+}f(x)\] e \(\lim_{x\to2^-}f(x) e verificar se são iguais (somente assim o limite bilateral existe).]
Passo 2
Breve lembrança didática: a existência de \lim_{x\to 2}f(x) exige que
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^-}f(x).
Vou calcular cada um separadamente. Se ao substituir x=2 numa expressão obtemos uma forma do tipo \tfrac{0}{0}, então precisamos manipular algebricamente (fatorar, racionalizar, etc.) para cancelar o fator que causa a indeterminação.
Passo 3
Calculemos primeiro o limite pela direita \lim_{x\to2^+}. Tome a expressão para x>2: