QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(iii) Avalie o limite \lim _{x \rightarrow 2} f(x)\) se \(f(x)= \begin{cases}\frac{4\left(\sqrt{x^{3}-x^{2}}-\sqrt{x+2}\right)}{-x^{2}-3 x+10}, & \text { se } x>2 \\\ \frac{x^{3}-9}{5-x^{2}}, & \text { se } x<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} f(x)
onde f\) é definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{4\bigl(\sqrt{x^{3}-x^{2}}-\sqrt{x+2}\bigr)}{-x^{2}-3x+10}, & \text{se } x>2,\\[6pt] \dfrac{x^{3}-9}{5-x^{2}}, & \text{se } x<2. \end{cases}
O que precisamos encontrar são os limites laterais \lim_{x\to2^+}f(x)\] e \(\lim_{x\to2^-}f(x) e verificar se são iguais (somente assim o limite bilateral existe).]

Passo 2

Breve lembrança didática: a existência de \lim_{x\to 2}f(x) exige que
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^-}f(x).
Vou calcular cada um separadamente. Se ao substituir x=2 numa expressão obtemos uma forma do tipo \tfrac{0}{0}, então precisamos manipular algebricamente (fatorar, racionalizar, etc.) para cancelar o fator que causa a indeterminação.

Passo 3

Calculemos primeiro o limite pela direita \lim_{x\to2^+}. Tome a expressão para x>2:
\frac{4\bigl(\sqrt{x^{3}-x^{2}}-\sqrt{x+2}\bigr)}{-x^{2}-3x+10}.
Substituindo x=2 diretamente, obtemos no numerador
\sqrt{2^{3}-2^{2}}-\sqrt{2+2}=\sqrt{8-4}-\sqrt{4}=2-2=0,
e no denominador
-2^{2}-3\cdot2+10=-4-6+10=0.
Portanto é uma indeterminação \tfrac{0}{0} e precisamos manipular.

Passo 4

Uma manipulação útil com raízes é simplificar \sqrt{x^{3}-x^{2}}. Note que
\sqrt{x^{3}-x^{2}}=\sqrt{x^{2}(x-1)}=|x|\sqrt{x-1}.
Como estamos estudando x\to2^+ (ou seja, x>2), tem-se |x|=x. Logo, para x>2 podemos escrever
\sqrt{x^{3}-x^{2}}=x\sqrt{x-1}.
Defina A=x\sqrt{x-1} e B=\sqrt{x+2}. A nossa expressão fica
\frac{4(A-B)}{-x^{2}-3x+10}.

Passo 5

Para eliminar a diferença de raízes racionalizamos o numerador multiplicando por A+B (conjugado). Assim
\frac{4(A-B)}{-x^{2}-3x+10} = \frac{4(A-B)(A+B)}{(-x^{2}-3x+10)(A+B)} = \frac{4(A^{2}-B^{2})}{(-x^{2}-3x+10)(A+B)}.
Agora calcule A^{2}-B^{2}:
A^{2}-B^{2}=x^{2}(x-1)-(x+2)=x^{3}-x^{2}-x-2.
Fatorando o polinômio x^{3}-x^{2}-x-2: note que x=2 é raiz (pois 8-4-2-2=0), então divide-se por x-2 e obtém-se
x^{3}-x^{2}-x-2=(x-2)(x^{2}+x+1).
Agora fatoramos o denominador -x^{2}-3x+10. Escrevendo com sinal negativo comum:
-x^{2}-3x+10=-(x^{2}+3x-10)=-(x+5)(x-2).
Substituindo essas fatorações na expressão, temos
\frac{4(A^{2}-B^{2})}{(-x^{2}-3x+10)(A+B)} = \frac{4(x-2)(x^{2}+x+1)}{-(x-2)(x+5)(A+B)}.

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator (x-2) (que é o responsável pela indeterminação) pois estamos considerando x\neq2 ao tomar limites:
\frac{4(x-2)(x^{2}+x+1)}{-(x-2)(x+5)(A+B)} = \frac{4(x^{2}+x+1)}{-(x+5)(A+B)}.
Lembre que A=x\sqrt{x-1} e B=\sqrt{x+2}.

Passo 7

Agora fazemos x\to2^+ (já sem indeterminação), substituindo x=2:
x^{2}+x+1\big|_{x=2}=4+2+1=7, \qquad x+5\big|_{x=2}=7,
A\big|_{x=2}=2\sqrt{2-1}=2\cdot1=2, \qquad B\big|_{x=2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2,
logo
A+B\big|_{x=2}=2+2=4.
Substituindo tudo:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\frac{4\cdot 7}{-\,7\cdot 4}=\frac{28}{-28}=-1.

Passo 8

Agora calculemos o limite pela esquerda \lim_{x\to2^-}f(x). Para x<2 a expressão é
\frac{x^{3}-9}{5-x^{2}}.
Aqui podemos tentar substituir x=2 diretamente (não dá indeterminação):
x^{3}-9\big|_{x=2}=8-9=-1, \qquad 5-x^{2}\big|_{x=2}=5-4=1,
portanto
\lim_{x\to2^-}f(x)=\frac{-1}{1}=-1.

Passo 9

Como
\lim_{x\to2^+}f(x)=-1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to2^-}f(x)=-1,
os limites laterais coincidem. Logo o limite bilateral existe e é igual a -1.

Resposta

-1

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