QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(iv) Avalie o limite
Passo 1
O enunciado pede: avaliar o limite
Informações dadas:
- Há duas expressões diferentes dependendo se .
- O ponto
não está definido explicitamente (a definição é só para e ).
O que o enunciado pede é o valor do limite quandose aproxima de (ou informar que não existe).]
Passo 2
Estratégia conceitual (explicação didática curta sobre por que fazer assim).
- Para uma função definida por partes, o limite
existe somente se os limites laterais pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais. - Assim, vou calcular separadamente o limite pela esquerda
usando a expressão válida para
, e o limite pela direita
usando a expressão válida para
. Se eles coincidirem, esse será o limite; se não coincidirem, o limite não existe.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda
.
- Para
temos . - Essa expressão é um quociente de polinômios que é contínuo no ponto
(pois em vale ). Para funções contínuas, o limite ao se aproximar é o valor da função substituindo . - Então calculo substituindo
:
Passo 4
Cálculo do limite pela direita
.
- Para
temos . - Primeiro vou avaliar as partes no ponto
para ver se há indeterminação:
- Então obtém-se uma forma
, que é indeterminada. É preciso manipular algebricamente para simplificar e eliminar a causa da indeterminação.
Passo 5
Técnica para simplificar o caso com raiz cúbica (aula rápida e aplicação).
- Seja
. Então . - Note que
é exatamente o numerador. Considere . Pela identidade da diferença de cubos vale
- Mas
. Portanto
- Isolando
obtemos
- Como
é o numerador original, posso reescrever a fração original substituindo .
Passo 6
Substituição e simplificação algébrica (mostrando cada passo).
- Reescrevendo a expressão para
com :
- Observe que o denominador fatoriza:
- Usando
, substituo no numerador:
- Agora cancela-se o fator
(válido para , e estamos tomando limite quando , então podemos simplificar):
Passo 7
Avaliação do limite após simplificação.
- Depois da simplificação temos uma expressão que não é mais indeterminada na aproximação
:
onde
.
- Ao aproximar
de pela direita, tende a . Então substituo esses valores:
- Logo
Passo 8
Conclusão final comparando os limites laterais e interpretando.
- Encontramos
- Como os limites laterais não são iguais (
), o limite não existe.
Força aí — deu trabalho com a raiz cúbica, mas a técnica de fatorar a diferença de cubos é bem poderosa e aparece bastante em provas.
Resposta
O limite não existe.