QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(iv) Avalie o limite \lim _{x \rightarrow 5} f(x)\) se \(f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x^{2}-8 x+15}, & \text { se } x>5 \\\ \frac{x^{2}-4 x}{x+1}, & \text { se } x<5\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: avaliar o limite \lim_{x\rightarrow 5} f(x)\) da função definida por partes \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x^{2}-8x+15}, & \text{se } x>5,\\[6pt] \dfrac{x^{2}-4x}{x+1}, & \text{se } x<5. \end{cases}
Informações dadas:
  • Há duas expressões diferentes dependendo se x\] é maior ou menor que \(\,5.
  • O ponto x=5 não está definido explicitamente (a definição é só para x>5 e x<5).
    O que o enunciado pede é o valor do limite quando x se aproxima de \,5 (ou informar que não existe).]

Passo 2

Estratégia conceitual (explicação didática curta sobre por que fazer assim).
  • Para uma função definida por partes, o limite \lim_{x\rightarrow 5} f(x) existe somente se os limites laterais pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais.
  • Assim, vou calcular separadamente o limite pela esquerda
\lim_{x\rightarrow 5^-} f(x)
usando a expressão válida para x<5, e o limite pela direita
\lim_{x\rightarrow 5^+} f(x)
usando a expressão válida para x>5. Se eles coincidirem, esse será o limite; se não coincidirem, o limite não existe.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\rightarrow 5^-} f(x).
  • Para x<5 temos f(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x+1}.
  • Essa expressão é um quociente de polinômios que é contínuo no ponto x=5 (pois x+1 em x=5 vale 6\neq 0). Para funções contínuas, o limite ao se aproximar é o valor da função substituindo x=5.
  • Então calculo substituindo x=5:
\lim_{x\rightarrow 5^-} f(x)=\frac{5^{2}-4\cdot 5}{5+1}=\frac{25-20}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\rightarrow 5^+} f(x).
  • Para x>5 temos f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x^{2}-8x+15}.
  • Primeiro vou avaliar as partes no ponto x=5 para ver se há indeterminação:
\text{numerador em }x=5:\\ \sqrt[3]{5+3}-2=\sqrt[3]{8}-2=2-2=0,
\text{denominador em }x=5:\\\ 5^{2}-8\cdot5+15=25-40+15=0.
  • Então obtém-se uma forma 0/0, que é indeterminada. É preciso manipular algebricamente para simplificar e eliminar a causa da indeterminação.

Passo 5

Técnica para simplificar o caso com raiz cúbica (aula rápida e aplicação).
  • Seja u=\sqrt[3]{x+3}. Então u^{3}=x+3.
  • Note que u-2 é exatamente o numerador. Considere u^{3}-2^{3}=u^{3}-8. Pela identidade da diferença de cubos vale
u^{3}-2^{3}=(u-2)(u^{2}+2u+4).
  • Mas u^{3}-8=(x+3)-8=x-5. Portanto
(u-2)(u^{2}+2u+4)=x-5.
  • Isolando u-2 obtemos
u-2=\frac{x-5}{u^{2}+2u+4}.
  • Como u-2 é o numerador original, posso reescrever a fração original substituindo u-2.

Passo 6

Substituição e simplificação algébrica (mostrando cada passo).
  • Reescrevendo a expressão para x>5 com u=\sqrt[3]{x+3}:
\frac{\sqrt[3]{x+3}-2}{x^{2}-8x+15}=\frac{u-2}{x^{2}-8x+15}.
  • Observe que o denominador fatoriza:
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5).
  • Usando u-2=\dfrac{x-5}{u^{2}+2u+4}, substituo no numerador:
\frac{u-2}{(x-3)(x-5)}=\frac{\dfrac{x-5}{u^{2}+2u+4}}{(x-3)(x-5)} =\frac{x-5}{(u^{2}+2u+4)(x-3)(x-5)}.
  • Agora cancela-se o fator x-5 (válido para x\neq 5, e estamos tomando limite quando x\rightarrow 5^+, então podemos simplificar):
\frac{x-5}{(u^{2}+2u+4)(x-3)(x-5)}=\frac{1}{(u^{2}+2u+4)(x-3)}.

Passo 7

Avaliação do limite após simplificação.
  • Depois da simplificação temos uma expressão que não é mais indeterminada na aproximação x\rightarrow 5^+:
\lim_{x\rightarrow 5^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow 5^+}\frac{1}{(u^{2}+2u+4)(x-3)},
onde u=\sqrt[3]{x+3}.
  • Ao aproximar x de 5 pela direita, u=\sqrt[3]{x+3} tende a \sqrt[3]{8}=2. Então substituo esses valores:
u\longrightarrow 2 \quad\text{e}\quad x-3\longrightarrow 5-3=2.
  • Logo
\lim_{x\rightarrow 5^+} f(x)=\frac{1}{\bigl(2^{2}+2\cdot 2+4\bigr)\cdot 2} =\frac{1}{(4+4+4)\cdot 2} =\frac{1}{12\cdot 2} =\frac{1}{24}.

Passo 8

Conclusão final comparando os limites laterais e interpretando.
  • Encontramos
\lim_{x\rightarrow 5^-} f(x)=\frac{5}{6} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\rightarrow 5^+} f(x)=\frac{1}{24}.
  • Como os limites laterais não são iguais ( \dfrac{5}{6}\neq \dfrac{1}{24}), o limite \lim_{x\rightarrow 5} f(x) não existe.
Força aí — deu trabalho com a raiz cúbica, mas a técnica de fatorar a diferença de cubos é bem poderosa e aparece bastante em provas.

Resposta

O limite não existe.
\lim_{x\rightarrow 5^-} f(x)=\dfrac{5}{6}
\lim_{x\rightarrow 5^+} f(x)=\dfrac{1}{24}

Exercícios relacionados