Questão 11-31 (Comparação de Perfis) “A viga de aço deve suportar o carregamento distribuído de w= 20 \mathrm{kN} \mathrm{m}^{-1} em um vão de 6 metros. Selecione o perfil W mais econômico. A tensão de escoamento é \sigma_{e}=250 \mathrm{MPa}. Use um fator de segurança F S=1.6.”

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Carga distribuída uniformemente w = 20\\ \mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-1}.
    • Vão da viga L = 6\\ \mathrm{m}.
    • Tensão de escoamento do aço \sigma_{e} = 250\\ \mathrm{MPa}.
    • Fator de segurança FS = 1{,}6.
  • Pedido:
    • Selecionar o perfil W mais econômico que suporte esse carregamento num vão de 6\\ \mathrm{m}.
  • Informação importante ausente (necessária para escolher o perfil):
    • Não foi fornecida a tabela/catálogo de perfis W com os dados geométricos e de peso (por exemplo: seção S_x ou módulo de resistência, momento de inércia I_x, área A, massa por metro). Sem essa tabela não é possível apontar exatamente qual perfil W é o mais econômico.
    • Observação: é comum selecionar o perfil pelo módulo de resistência plástico/último S_x (ou Z_x) e pelo peso por metro. Também podem ser necessárias verificações de cisalhamento e de flecha, que exigem A_w, I_x e E.

Passo 2

Calcular o momento fletor máximo na viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída — isto é um passo padrão e obrigatório.
  • Fórmula para viga simplesmente apoiada com carga uniforme:
    M_{\max}=\frac{wL^{2}}{8}.
  • Substituindo os valores (atenção às unidades; uso \mathrm{kN} e \mathrm{m} para obter M em \mathrm{kN}\,\mathrm{m}):
    M_{\max}=\frac{20\cdot 6^{2}}{8}=\frac{20\cdot 36}{8}=90\\ \mathrm{kN}\,\mathrm{m}.
  • Converter para unidades compatíveis com \mathrm{MPa}=(\mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}) e módulo de resistência em \mathrm{mm}^{3}:
    M_{\max}=90\\ \mathrm{kN}\,\mathrm{m}=90\,000\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}=90\,000\,000\\ \mathrm{N}\,\mathrm{mm}.
Explicação didática curta: o momento máximo para carga uniforme em vão simples é bem conhecido e dado por wL^2/8. Sempre cheque unidades: para usar \mathrm{MPa} (N/mm^2) e S em mm^3, converta M para N·mm.

Passo 3

Determinar a tensão admissível (tensão máxima permitida) usando o fator de segurança.
  • A tensão admissível é:
    \sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_{e}}{FS}.
  • Substituindo:
    \sigma_{\text{adm}}=\frac{250\\ \mathrm{MPa}}{1{,}6}=156{,}25\\ \mathrm{MPa}.
Didática: \sigma_{e} é a tensão de escoamento do aço; dividimos por FS para obter a tensão que aceitaremos na verificação elástica/plástica (dependendo da norma e do critério) — aqui usamos um critério simples de projeto por escoamento.

Passo 4

Determinar o módulo de resistência mínimo requerido S_{x,\min} (também chamado de módulo de seção) a partir de M_{\max} e \sigma_{\text{adm}}.
  • Relação fundamental entre momento, tensão e módulo de resistência:
    \sigma=\frac{M}{S_x}\quad\Longrightarrow\quad S_x=\frac{M}{\sigma}.
  • Assim:
    S_{x,\min}=\frac{M_{\max}}{\sigma_{\text{adm}}}=\frac{90\,000\,000\\ \mathrm{N}\,\mathrm{mm}}{156{,}25\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}}=576\,000\\ \mathrm{mm}^{3}.
  • Converter para \mathrm{cm}^{3} (útil porque muitos catálogos usam \mathrm{cm}^{3}):
    576\,000\\ \mathrm{mm}^{3}=576\\ \mathrm{cm}^{3}.
Didática passo a passo:
  • M em N·mm dividido por \sigma em N/mm² dá S_x em mm³.
  • Sempre verifique unidades: \frac{\mathrm{N}\,\mathrm{mm}}{\mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}}=\mathrm{mm}^{3}.
  • Em catálogos, se o módulo de resistência estiver em \mathrm{cm}^{3}, converta dividindo por 1000.

Passo 5

Interpretar o resultado e explicar como escolher o perfil W a partir do catálogo.
  • O requisito mínimo é que o perfil tenha módulo de resistência sobre o eixo forte S_x (ou Z_x dependendo da notação) maior ou igual a:
    S_{x}\geq S_{x,\min}=576\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Procedimento prático para selecionar o perfil mais econômico:
    1. Abrir o catálogo de perfis W (tabela do fabricante ou norma).
    2. Buscar todos os perfis W cuja S_x (módulo de resistência sobre o eixo principal) seja \geq 576\\ \mathrm{cm}^{3}.
    3. Entre esses, escolher o que tiver menor massa por metro (ou menor custo), porque a rigidez já é atendida e economia normalmente quer minimizar peso/custo.
    4. Para o perfil escolhido, verificar as demais condições (cisalhamento, flecha, conectividade, requisito de flambagem local etc.).
Didática e dicas:
  • Muitas vezes a verificação de flexão (bending) controla, mas nem sempre — por isso é preciso checar cisalhamento e flecha.
  • Se houver dois perfis com S_x muito próximos, pode ser preferível escolher o de menor massa por metro, desde que passe as verificações adicionais.
  • Catálogos geralmente fornecem: d (altura), b_f (largura da flange), t_w, t_f, A (área), I_x, S_x, r_x, e massa por metro. S_x = I_x / y_{\max} ou vem direto na tabela.

Passo 6

Verificação de cisalhamento (passo a passo e por que pode ser necessária), e o que é preciso do catálogo para checar.
  • Momento cortante máximo num vão simplesmente apoiado com carga uniforme:
    V_{\max}=\frac{wL}{2}=\frac{20\cdot 6}{2}=60\\ \mathrm{kN}.
  • Para checar se o perfil resiste ao cisalhamento, normalmente compara-se a força cortante com a capacidade de cisalhamento do perfil, que depende da área efetiva da alma ( A_w ou A_{web}) e da resistência ao cisalhamento do material. Um critério simples (aproximação) é:
    \tau_{\text{média}}=\frac{V}{A_w}\quad\text{e exigir}\quad \tau_{\text{média}}\leq \tau_{\text{adm}},éé
    onde \tau_{\text{adm}} pode ser tomada da relação com \sigma_{e} (ex.: \tau_{\text{adm}}\approx 0{,}6\\ \sigma_{\text{adm}} dependendo da norma) ou conforme especificado pela norma local.
  • O problema: para verificar cisalhamento é necessário conhecer a geometria da alma ( t_w e altura útil da alma), ou seja, dados que vem do catálogo. Sem esses dados não é possível confirmar a verificação de cisalhamento.
Didática curta:
  • Em vigas W, o cisalhamento frequentemente não controla quando a peça é relativamente esbelta em flexão, mas sempre faça a checagem com os dados da alma do perfil.

Passo 7

Sobre flecha (deflexão): quando checar e como checar rapidamente.
  • Fórmula da flecha máxima para viga simplesmente apoiada com carga uniforme: \delta_{\max}=\frac{5wL^{4}}{384EI}.
  • Para checar a flecha precisa-se de I_x do perfil (momento de inércia) e do módulo de elasticidade E (para aço, normalmente E\approx 210\\ \mathrm{GPa}=210\,000\\ \mathrm{MPa}).
  • Critério comum de limite de flecha: \delta_{\max}\leq L/360 ou L/240 dependendo da função (uso geral, acabamento, etc.). O enunciado não dá limite de flecha nem exige verificação, então isso fica como verificação adicional obrigatória se a norma ou projeto exigir.
Didática:
  • Mesmo que a resistência por escoamento seja atendida, a viga pode ser inadequada por excesso de flecha — por isso sempre verifique se o projeto exige limite de deformação.

Passo 8

Exemplo ilustrativo (hipotético) de como escolher entre perfis do catálogo — só para consolidar o método (estes números são fictícios, não usar para tomar decisão real).
  • Suponha que o catálogo mostre:
    • W1: S_x=600\\ \mathrm{cm}^{3},\\ \text{peso}=75\\ \mathrm{kg/m}.
    • W2: S_x=580\\ \mathrm{cm}^{3},\\ \text{peso}=80\\ \mathrm{kg/m}.
    • W3: S_x=520\\ \mathrm{cm}^{3},\\ \text{peso}=70\\ \mathrm{kg/m}.
  • Aplicando o critério S_x\geq 576\\ \mathrm{cm}^{3}, W1 e W2 atendem; W3 não atende.
  • Entre W1 e W2, escolher W1 (600 cm^3 e 75 kg/m) ou W2 (580 cm^3 e 80 kg/m): W1 tem menor peso e, portanto, seria o mais econômico neste exemplo hipotético.
Nota: este exemplo é apenas didático — os números dos perfis são inventados para mostrar o processo. Use os dados reais do catálogo para decidir.

Passo 9

Resumo final do que foi calculado e o que falta para concluir a seleção (passos práticos que você deve fazer agora).
  • Calculado:
    • M_{\max}=90\\ \mathrm{kN}\,\mathrm{m}=90\,000\,000\\ \mathrm{N}\,\mathrm{mm}.
    • \sigma_{\text{adm}}=156{,}25\\ \mathrm{MPa}.
    • S_{x,\min}=576\,000\\ \mathrm{mm}^{3}=576\\ \mathrm{cm}^{3}.
    • V_{\max}=60\\ \mathrm{kN}.
  • Falta (necessário para selecionar o perfil mais econômico):
    • Tabela/catálogo de perfis W com S_x e massa por metro (e, idealmente, I_x, A, t_w, etc.).
    • Com esses dados, aplicar o procedimento do Passo 5 e checar cisalhamento e flecha conforme Passos 6–7.
Incentivo rápido: você já fez a parte mais chata — determinar o S_x mínimo — agora é só abrir o catálogo (ou me enviar a tabela) que eu faço a comparação dos perfis e seleciono o mais econômico pra você rapidinho. Força, tá quase lá!

Resposta

Não é possível selecionar o perfil W mais econômico sem o catálogo/tabela de perfis (valores de S_x, A, massa por metro, I_x, t_w).
Valores necessários para selecionar o perfil: S_{x,\min}=576\\ \mathrm{cm}^{3}, \sigma_{\text{adm}}=156{,}25\\ \mathrm{MPa} e V_{\max}=60\\ \mathrm{kN}.

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