Questão 11-3 (Conceito Básico) “Se a viga for feita de madeira com tensão admissível de flexão \sigma_{\mathrm{adm}}= 12 MPa , determine a altura h da seção transversal retangular necessária para suportar o carregamento. A largura é fixa em b=150 \mathrm{~mm}.”

Passo 1

O enunciado (o que foi dado) e o que se pede:
  • Dado: tensão admissível de flexão \sigma_{\mathrm{adm}}=12\\ \text{MPa}.
  • Dado: largura da seção retangular b=150\\ \text{mm}.
  • Pedido: determinar a altura h da seção transversal retangular necessária para suportar o carregamento.
Importante: o enunciado não forneceu o valor do momento fletor máximo M_{\max} (nem o diagrama de carregamento/apoios). Para projetar a seção em flexão é obrigatório conhecer o momento fletor máximo que a viga deve resistir. Sem M_{\max} não é possível obter um valor numérico de h.
A seguir vou:
  • explicar a teoria necessária (fórmula de flexão, momento de inércia, módulo resistente),
  • deduzir a expressão que dá h em função de M_{\max}, e
  • mostrar um exemplo numérico ilustrativo (usando um M_{\max} hipotético) para que você saiba aplicar no exame quando tiver o momento.

Passo 2

Conceito e fórmula básica da flexão (a “fórmula de flexão”):
  • A tensão fletora ordinária em uma fibra a uma distância y do eixo neutro é dada por
\sigma = \dfrac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal por flexão (unidades: \text{N}/\text{mm}^2 ou MPa),
  • M é o momento fletor interno no corte (unidades: \text{N}\cdot\text{mm}),
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (unidades: \text{mm}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidades: \text{mm}^4).
Para uma seção retangular de largura b e altura h, com eixo neutro no centro:
  • o momento de inércia é
I = \dfrac{b\,h^{3}}{12},
  • a distância até a fibra mais afastada (onde a tensão é máxima) é
y_{\max} = \dfrac{h}{2}.

Passo 3

Determinação da tensão máxima por flexão e do módulo resistente:
Substituindo I e y_{\max} na fórmula de flexão obtemos a tensão máxima \sigma_{\max}:
\sigma_{\max} = \dfrac{M_{\max}\,y_{\max}}{I} = \dfrac{M_{\max}\,\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{b\,h^{3}}{12}} = \dfrac{M_{\max}\,\dfrac{h}{2}\cdot 12}{b\,h^{3}}.
Simplificando os h:
\sigma_{\max} = \dfrac{6\,M_{\max}}{b\,h^{2}}.
Observação útil: o termo S=\dfrac{I}{y_{\max}}=\dfrac{b\,h^{2}}{6} é o módulo resistente da seção e a relação \sigma_{\max}=M_{\max}/S é equivalente.

Passo 4

Impor a condição de segurança e isolar h:
  • A condição de projeto em flexão é que a tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível, ou seja \sigma_{\max}\le \sigma_{\mathrm{adm}}.
  • Colocando \sigma_{\max}=\sigma_{\mathrm{adm}} para obter a altura necessária (caso crítico) e resolvendo para h:
\sigma_{\mathrm{adm}}=\dfrac{6\,M_{\max}}{b\,h^{2}} \quad\Longrightarrow\quad h^{2}=\dfrac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\mathrm{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt{\dfrac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\mathrm{adm}}}}.
Unidades e observações sobre unidades:
  • Se b está em \text{mm} e \sigma_{\mathrm{adm}} em \text{N}/\text{mm}^2 (MPa = \text{N}/\text{mm}^2), então M_{\max} deve estar em \text{N}\cdot\text{mm} para que h saia em \text{mm}.
  • Para converter M dado em \text{kN}\cdot\text{m} para \text{N}\cdot\text{mm}: multiplicar por 10^{6} (pois 1\\ \text{kN}\cdot\text{m}=10^{3}\\ \text{N}\cdot 10^{3}\\ \text{mm}=10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}).
Exemplo ilustrativo (hipotético) para ver como aplicar:
  • Suponha M_{\max}=20\\ \text{kN}\cdot\text{m}=20\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Usando b=150\\ \text{mm} e \sigma_{\mathrm{adm}}=12\\ \text{MPa}=12\\ \text{N}/\text{mm}^2,
h=\sqrt{\dfrac{6\cdot 20\times10^{6}}{150\cdot 12}} =\sqrt{\dfrac{120\times10^{6}}{1800}} =\sqrt{66666{,}6667}\approx 258{,}2\\ \text{mm}.
Portanto, com esse M_{\max} hipotético a altura necessária seria cerca de 258{,}2\\ \text{mm}. Na prova, faça exatamente esses passos substituindo o M_{\max} correto que o enunciado/figura der.

Passo 5

Resumo prático (como resolver na prova):
  1. Identifique ou calcule o momento fletor máximo M_{\max} a partir do diagrama de carregamento/apoios (converta para \text{N}\cdot\text{mm}).
  2. Use b em \text{mm} e \sigma_{\mathrm{adm}} em \text{N}/\text{mm}^2.
  3. Calcule
h=\sqrt{\dfrac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\mathrm{adm}}}}.
  1. Arredonde para cima para um valor prático e cheque outras verificações (cisalhamento, deslocamento) se for solicitado.

Resposta

h=\sqrt{\dfrac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\mathrm{adm}}}}

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