Questão 11: Acima de 882^{\circ} \mathrm{C}, o titânio tem estrutura cristalina CCC, massa atômica igual a 47,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, com \mathrm{a}=0,332 \mathrm{~nm}. Abaixo desta temperatura, ele se organiza numa estrutura HC , com \mathrm{a}=0,2978 \mathrm{~nm} e \mathrm{c}=0,4735 \mathrm{~nm}. Determine a variação percentual da densidade quando o titânio CCC se transforma em titânio HC. Ocorre contração ou expansão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a variação percentual da densidade quando o titânio passa da fase CCC (cúbica de corpo centrado) para a fase HC (hexagonal compacta).
  • Dizer se nesse processo ocorre contração ou expansão.
Dados fornecidos:
  • Massa atômica do titânio: M=47,9\\ \text{g·mol}^{-1}.
  • Constante de Avogadro: N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1} (vai ser usada para converter massa por mol em massa por átomo).
  • Para a fase CCC (BCC): malha cúbica com a_{\text{bcc}}=0,332\\ \text{nm}.
  • Para a fase HC (HCP): parâmetros a_{\text{hcp}}=0,2978\\ \text{nm} e c_{\text{hcp}}=0,4735\\ \text{nm}.
O que precisamos calcular: densidade na fase CCC, densidade na fase HC, variação percentual relativa \dfrac{\rho_{\text{hcp}}-\rho_{\text{bcc}}}{\rho_{\text{bcc}}}\times100\%, e interpretar sinal (aumento = contração, diminuição = expansão).

Passo 2

Noções e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Densidade é massa por volume: \rho=\dfrac{m}{V}. Aqui vamos usar a massa de uma cela unitária dividida pelo volume da cela unitária.
  • Massa de uma cela unitária: m = n\cdot m_{\text{átomo}}á, onde n é o número de átomos na cela e m_{\text{átomo}}=\dfrac{M}{N_A}á é a massa de um átomo.
  • Para CCC (BCC) a cela cúbica convencional contém n_{\text{bcc}}=2 átomos por cela. Rápida explicação: 8 cantos contribuem 8\times\frac{1}{8}=1 átomo e o átomo do corpo contribui 1, total 2.
  • Para HC (HCP) a cela hexagonal convencional contém n_{\text{hcp}}=6 átomos por cela. Explicando: 12 vértices com contribuição 12\times\frac{1}{6}=2, 2 centros de face com 2\times\frac{1}{2}=1, e 3 átomos totalmente dentro da cela = 3; soma 2+1+3=6.
  • Volume da cela cúbica: V_{\text{bcc}} = a_{\text{bcc}}^{3}.
  • Volume da cela hexagonal (prisma hexagonal convencional): V_{\text{hcp}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_{\text{hcp}}^{2}\,c_{\text{hcp}}.
  • Unidade: converter 1\\ \text{nm}=1\times10^{-7}\\ \text{cm} para obter densidade em \text{g·cm}^{-3} (unidade usual).

Passo 3

Calcular a massa de um átomo de titânio:
m_{\text{átomo}}=\dfrac{M}{N_A}=\dfrac{47{,}9\\ \text{g·mol}^{-1}}{6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}} \approx 7{,}955\times10^{-23}\\ \text{g}.á

Passo 4

Densidade na fase CCC (BCC).
  1. Converter a_{\text{bcc}} para centímetros:
a_{\text{bcc}}=0{,}332\\ \text{nm}=0{,}332\times10^{-7}\\ \text{cm}=3{,}32\times10^{-8}\\ \text{cm}.
  1. Volume da cela cúbica:
V_{\text{bcc}}=a_{\text{bcc}}^{3}=(3{,}32\times10^{-8}\\ \text{cm})^{3}=3{,}6597\times10^{-23}\\ \text{cm}^{3}.
  1. Massa da cela:
m_{\text{bcc}}=n_{\text{bcc}}\cdot m_{\text{átomo}}=2\cdot 7{,}955\times10^{-23}\\ \text{g}=1{,}5910\times10^{-22}\\ \text{g}.á
  1. Densidade:
\rho_{\text{bcc}}=\dfrac{m_{\text{bcc}}}{V_{\text{bcc}}} =\dfrac{1{,}5910\times10^{-22}\\ \text{g}}{3{,}6597\times10^{-23}\\ \text{cm}^{3}} \approx 4{,}348\\ \text{g·cm}^{-3}.

Passo 5

Densidade na fase HC (HCP).
  1. Converter a_{\text{hcp}} e c_{\text{hcp}} para centímetros:
a_{\text{hcp}}=0{,}2978\\ \text{nm}=2{,}978\times10^{-8}\\ \text{cm}, \qquad c_{\text{hcp}}=0{,}4735\\ \text{nm}=4{,}735\times10^{-8}\\ \text{cm}.
  1. Volume da cela hexagonal:
V_{\text{hcp}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_{\text{hcp}}^{2}\,c_{\text{hcp}}.
Calcular numericamente:
a_{\text{hcp}}^{2}=(2{,}978\times10^{-8})^{2}=8{,}8685\times10^{-16}\\ \text{cm}^{2},
a_{\text{hcp}}^{2}\,c_{\text{hcp}}=8{,}8685\times10^{-16}\times4{,}735\times10^{-8}=4{,}1994\times10^{-23}\\ \text{cm}^{3},
\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598076\quad\Rightarrow\quad V_{\text{hcp}}=2{,}598076\times4{,}1994\times10^{-23}=1{,}0916\times10^{-22}\\ \text{cm}^{3}.
  1. Massa da cela:
m_{\text{hcp}}=n_{\text{hcp}}\cdot m_{\text{átomo}}=6\cdot7{,}955\times10^{-23}\\ \text{g}=4{,}773\times10^{-22}\\ \text{g}.á
  1. Densidade:
\rho_{\text{hcp}}=\dfrac{m_{\text{hcp}}}{V_{\text{hcp}}} =\dfrac{4{,}773\times10^{-22}\\ \text{g}}{1{,}0916\times10^{-22}\\ \text{cm}^{3}} \approx 4{,}374\\ \text{g·cm}^{-3}.

Passo 6

Variação percentual da densidade e interpretação.
  1. Variação percentual relativa (BCC \to HCP):
\Delta\%=\dfrac{\rho_{\text{hcp}}-\rho_{\text{bcc}}}{\rho_{\text{bcc}}}\times100\%.
Substituindo os valores numéricos:
\Delta\%=\dfrac{4{,}374-4{,}348}{4{,}348}\times100\%\approx 0{,}60\%.
  1. Interpretação física: a densidade aumentou ao passar de CCC para HC. Aumento de densidade significa que, por átomo, o volume diminuiu — isto é uma contração do material na transição \text{CCC}\to\text{HC}.

Resposta

\Delta\rho \approx +0{,}60\%
Contração

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