Questão 08: Determine a densidade do ferro CCC, que apresenta um valor de aresta a =0,2866 \mathrm{~nm} e massa atômica de 55,847 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Resposta: \rho=7,89 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a densidade do ferro na estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Informações fornecidas:
  • aresta da cela elementar: a=0{,}2866\\ \mathrm{nm},
  • massa atômica (massa molar): M=55{,}847\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
A única grandeza a calcular é a densidade \rho em \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 2

Entender quantos átomos existem por célula unitária na estrutura CCC (BCC).
  • Uma célula CCC tem 8 átomos nos vértices; cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células, portanto contribuição total dos vértices é 8\times\frac{1}{8}=1 átomo por célula.
  • Existe ainda 1 átomo no centro da cela, que pertence inteiramente àquela célula.
    Logo o número de átomos por célula é
n=1+1=2.

Passo 3

Escrever a relação entre densidade, massa por célula e volume da célula:
  • massa de uma célula unitária:
m_{\text{cel}}=n\cdot\frac{M}{N_A},
onde N_A é a constante de Avogadro. Usaremos
N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • volume da célula unitária (celular cúbica):
V=a^{3}.
  • densidade:
\rho=\frac{m_{\text{cel}}}{V}.

Passo 4

Calcular a massa por célula passo a passo.
  • massa de um átomo:
m_{\text{átomo}}=\frac{M}{N_A}=\frac{55{,}847}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} \approx 9{,}272\times10^{-23}\\ \mathrm{g}.á
  • massa da célula (com n=2):
m_{\text{cel}}=2\cdot m_{\text{átomo}}=2\cdot9{,}272\times10^{-23}\\ \mathrm{g} =1{,}8544\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.á

Passo 5

Calcular o volume da célula convertendo a para \mathrm{cm} e elevando ao cubo.
  • conversão de unidade: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}. Assim
a=0{,}2866\\ \mathrm{nm}=0{,}2866\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}=2{,}866\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • volume da cela:
V=a^{3}=(2{,}866\times10^{-8}\\ \mathrm{cm})^{3} =(2{,}866)^{3}\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}} \approx 23{,}5413\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}} =2{,}35413\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 6

Calcular a densidade usando os valores obtidos:
\rho=\frac{m_{\text{cel}}}{V} =\frac{1{,}8544\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{2{,}35413\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 7{,}879\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando com duas casas decimais, obtemos
\rho\approx 7{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Resposta

\rho=7{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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