Questão 10: O titânio, com massa atômica igual a 47,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, possui uma estrutura cristalina HC e uma densidade de 4,51 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
a) Qual é o volume da sua célula unitária? Resposta: V_{c}=1,06 \times 10^{-22} \mathrm{~cm}^{3}
b) Se a razão c/a é de 1,58 , calcular os valores de c e de a.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que pede:
  • Massa atômica do titânio: M=47{,}9\\ \mathrm{g/mol}.
  • Densidade: \rho=4{,}51\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Estrutura: hexagonal compacta (HC, ou HCP). Para HC, o número de átomos por célula unitária é n=6.
  • Razão c/a=1{,}58.
O enunciado pede:
a) o volume da célula unitária V_{c} (já foi dada a resposta de referência V_{c}=1{,}06\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^{3}});
b) com c/a=1{,}58, calcular os valores de a e c.

Passo 2

Primeiro lembrar a relação que liga densidade, massa por célula e volume da célula:
V_{c}=\frac{m_{\text{cel}}}{\rho},
onde m_{\text{cel}} é a massa de átomos contidos na célula unitária. A massa por célula é obtida a partir da massa molar dividida por N_A multiplicada pelo número de átomos n:
m_{\text{cel}}=\frac{n\,M}{N_A}.
Aqui N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (constante de Avogadro).

Passo 3

Calcular m_{\text{cel}} numericamente:
m_{\text{cel}}=\frac{6\cdot47{,}9}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} =\frac{287{,}4}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.
Fazendo a divisão:
m_{\text{cel}}\approx4{,}77\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Agora calcular o volume da célula usando \;V_{c}=m_{\text{cel}}/\rho\::
V_{c}=\frac{4{,}77\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{4{,}51\\ \mathrm{g/cm^{3}}} \approx1{,}06\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Isto confirma a resposta fornecida para a parte (a).

Passo 5

Para a parte (b) precisamos da expressão geométrica do volume da célula hexagonal compacta. A célula unitária convencional é um prisma hexagonal de altura c e base hexagonal de lado a; a área do hexágono regular de lado a é \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}. Assim:
V_{c}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
Como foi dada a razão c/a, escrevemos c=(c/a)\,a=1{,}58\,a. Substituindo em V_{c}:
V_{c}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}(1{,}58\,a) =\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1{,}58\right)a^{3}.

Passo 6

Isolando a:
a^{3}=\frac{V_{c}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1{,}58}.
Calcular o denominador constante:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1{,}58 \approx 2{,}598076211\cdot1{,}58 \approx 4{,}104960414.
Então
a^{3}=\frac{1{,}06\times10^{-22}}{4{,}104960414}\approx2{,}5825\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 7

Tomando a raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{2{,}5825\times10^{-23}}\\ \mathrm{cm}\approx2{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Converter para ångström ( 1\\ \mathrm{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}):
a\approx2{,}95\\ \mathrm{\AA}.

Passo 8

Calcular c usando c=1{,}58\,a:
c=1{,}58\cdot2{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\approx4{,}66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}
ou em ångström:
c\approx4{,}66\\ \mathrm{\AA}.

Resposta

a=2{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=2{,}95\\ \mathrm{\AA}
c=4{,}66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=4{,}66\\ \mathrm{\AA}

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