Questão 11. Em cada item, verifique se B \subset A é um subanel do anel A
B=\left\{\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}: 2 \mid n\right\} e A=\mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado define o anel ambientaĺ A=\mathbb{Q} e o subconjunto
B=\bigl\{\tfrac{m}{n}\in\mathbb{Q} : 2\mid n\bigr\}.
Para que B seja subanel de A, ela deve satisfazer:
  1. 0\in B.
  2. Se x,y\in B, então x-y\in B.
  3. Se x,y\in B, então x\cdot y\in B.

Passo 2

Verificamos o elemento zero. Na forma usual,
0 = \frac{0}{1}.
Aqui o denominador é 1, que não é divisível por 2. Logo 0\notin B.
Como todo subanel deve conter o elemento neutro aditivo 0, já concluímos que B não pode ser subanel de \mathbb{Q}.

Passo 3

(Alternativamente, podemos checar a clausura sob adição.) Note que
\frac12\in B \quad\text{e}\quad \frac12+\frac12=1=\frac{1}{1}.
Mas \tfrac{1}{1}\notin B pois 1 não é múltiplo de 2. Logo B não é fechado sob soma, outra forma de ver que não é subanel.

Resposta

B não é subanel de \mathbb{Q}.

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