Questão 11. Em cada item, verifique se B \subset A é um subanel do anel A
B=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado nos diz que A = M_{2}(\mathbb{R}) é o anel de todas as matrizes 2\times2 com entradas em \mathbb{R} e que
B = \left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & b\end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}.
Queremos verificar se B é subanel de A. Para isso, basta mostrar que
  1. B não é vazio e contém o zero de A.
  2. B é fechado sob subtração (ou adição e inverso aditivo).
  3. B é fechado sob multiplicação.
    (Opcionalmente, podemos confirmar que a identidade de A pertence a B.)

Passo 2

Mostramos primeiro que B não é vazio e contém a matriz zero de A. A matriz zero em M_{2}(\mathbb{R}) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que corresponde ao caso a=0 e b=0. Logo, 0\in B.

Passo 3

Verificamos a fechamento de B sob subtração. Tomemos duas matrizes genéricas em B:
X = \begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & b\end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix}c & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix}.
Então
X - Y = \begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & b\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-c & 0 \\\\ 0 & b-d\end{pmatrix}.
Como a-c e b-d são reais, segue que X-Y\in B. Isso também garante fechamento em adição e existência de inverso aditivo em B.

Passo 4

Agora, conferimos fechamento sob multiplicação. Com as mesmas X e Y de antes,
X\,Y = \begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\,c & 0 \\\\ 0 & b\,d\end{pmatrix}.
Como a\,c e b\,d ainda são números reais, concluímos que X\,Y\in B.

Passo 5

Finalmente, a identidade multiplicativa de A é
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
que é claramente um elemento de B (basta tomar a=b=1).

Resposta

B é um subanel de A = M_{2}(\mathbb{R}).

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