Questão 11. Em cada item, verifique se B \subset A é um subanel do anel A
B=\left\{\left(\begin{array}{ll}0 & a \\\ b & c\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o anel
A = M_{2}(\mathbb{R})
e o subconjunto
B = \biggl\{\begin{pmatrix}0 & a \\[6pt] b & c\end{pmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R}\biggr\}.
Para ser subanel (subring) sem necessariamente herdar o mesmo elemento identidade, precisamos verificar:
  1. B é subgrupo aditivo de A.
  2. B é fechado sob multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Verificação do subgrupo aditivo:
  • Matriz zero em A é \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que está em B.
  • Soma de
    \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}
    e
    \begin{pmatrix}0 & a'\\\ b' & c'\end{pmatrix}
    é
    \begin{pmatrix}0 & a+a'\\\ b+b' & c+c'\end{pmatrix}, também em B.
  • Inverso aditivo de
    \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}
    é
    \begin{pmatrix}0 & -a\\\\ -b & -c\end{pmatrix}, que fica em B.
    Logo, B é subgrupo do grupo aditivo de A.

Passo 3

Verificação da multiplicação:
Tome
X = \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix}0 & a'\\\ b' & c'\end{pmatrix}
em B. Então
XY = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + a\,b' & 0\cdot a' + a\,c' \\[6pt] b\cdot0 + c\,b' & b\,a' + c\,c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\,b' & a\,c' \\[3pt] c\,b' & b\,a' + c\,c' \end{pmatrix}.
O elemento (1,1) de XY é a\,b', que em geral não é zero. Logo XY\notin B para escalares genéricos a,b'.]

Resposta

B não é subanel de A.

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