Questão 11. Em cada item, verifique se B \subset A é um subanel do anel A B=\left\{\left(\begin{array}{ll}0 & a \\\ b & c\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá o anel
A = M_{2}(\mathbb{R})
e o subconjunto
B = \biggl\{\begin{pmatrix}0 & a \\[6pt] b & c\end{pmatrix} : a,b,c\in\mathbb{R}\biggr\}.
Para ser subanel (subring) sem necessariamente herdar o mesmo elemento identidade, precisamos verificar:
B é subgrupo aditivo de A.
B é fechado sob multiplicação de matrizes.]
Passo 2
Verificação do subgrupo aditivo:
Matriz zero em A é \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que está em B.
Soma de \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}
e \begin{pmatrix}0 & a'\\\ b' & c'\end{pmatrix}
é \begin{pmatrix}0 & a+a'\\\ b+b' & c+c'\end{pmatrix}, também em B.
Inverso aditivo de \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}
é \begin{pmatrix}0 & -a\\\\ -b & -c\end{pmatrix}, que fica em B.
Logo, B é subgrupo do grupo aditivo de A.
Passo 3
Verificação da multiplicação:
Tome
X = \begin{pmatrix}0 & a\\\ b & c\end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix}0 & a'\\\ b' & c'\end{pmatrix}