Questão 11. Em cada item, verifique se B \subset A é um subanel do anel A
B=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\\ b & 0\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o anel ambient A = M_{2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
B = \left\{\begin{pmatrix}a & 0\\\ b & 0\end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{R}\right\}.
Para mostrar que B é subanel de A devemos verificar:
  1. 0\in B.
  2. Fechamento de B sob soma e inverso aditivo.
  3. Fechamento de B sob produto.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero de A é
0_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e ela pertence a B pois basta escolher a=0, b=0. Logo 0_{2}\in B.

Passo 3

Sejam
M_1 = \begin{pmatrix}a_1 & 0\\\ b_1 & 0\end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix}a_2 & 0\\\ b_2 & 0\end{pmatrix}
do conjunto B. Então
M_1 + M_2 = \begin{pmatrix}a_1 + a_2 & 0\\\ b_1 + b_2 & 0\end{pmatrix}\in B
e o inverso aditivo é
-\,M_1 = \begin{pmatrix}-a_1 & 0\\\\ -b_1 & 0\end{pmatrix}\in B.
Assim, B é fechado sob soma e inverso aditivo.

Passo 4

Ainda com M_1 e M_2 como acima, o produto em A é
M_1 M_2 = \begin{pmatrix}a_1 & 0\\\ b_1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2 & 0\\\ b_2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 a_2 + 0\cdot b_2 & 0\\\ b_1 a_2 + 0\cdot b_2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 a_2 & 0\\\ b_1 a_2 & 0\end{pmatrix}.
Como a_1a_2 e b_1a_2 são reais, temos M_1M_2\in B. Logo B é fechado sob produto.

Resposta

Sim. B é subanel de A.

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