Questão 11 - Uma canalização de ferro fundido, com 15 anos de uso (
), de 1.000 m de comprimento e 200 mm de diâmetro conduz água de um reservatório até um ponto situado numa cota de 20 m abaixo. Na extremidade da canalização há um manômetro para a leitura da pressão e um registro para controle da vazão. Calcule a pressão a ser lida no manômetro quando a vazão for a metade daquela que escoa com o registro totalmente aberto. (Despreze as perdas localizadas e a energia cinética, e utilize
a Fórmula de Hazen-Williams). Respostas:
admissível;
e
.
a Fórmula de Hazen-Williams). Respostas:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a pressão lida no manômetro na extremidade da tubulação quando a vazão for metade daquela que escoa com o registro totalmente aberto.
Dados fornecidos (listei tudo de forma clara):
(comprimento da tubulação).
(diâmetro).
(coeficiente de Hazen–Williams, dado para ferro fundido com 15 anos).
A cota na extremidade está abaixo do reservatório (ou seja, a diferença de nível disponível entre superfície do reservatório e a extremidade é
).
Desprezam-se perdas localizadas e energia cinética. Deve-se usar a fórmula de Hazen–Williams.
O problema exige os seguintes resultados (que confirmaremos calculando): vazão com registro totalmente aberto , metade dessa vazão
, perda de carga correspondente e a pressão (em metros de coluna d’água) lida no manômetro quando a vazão for
.
Dados fornecidos (listei tudo de forma clara):
A cota na extremidade está
Desprezam-se perdas localizadas e energia cinética. Deve-se usar a fórmula de Hazen–Williams.
O problema exige os seguintes resultados (que confirmaremos calculando): vazão com registro totalmente aberto
Passo 2
Apresentação da fórmula e explicação dos termos (aula rápida e prática).
A fórmula de Hazen–Williams, em unidades SI apropriadas para perda de carga total (em metros) numa tubulação cheia, pode ser escrita na forma:
A fórmula de Hazen–Williams, em unidades SI apropriadas para perda de carga total
onde:
-
é a perda de carga (m) ao longo do comprimento ; -
é o comprimento da tubulação (m); -
é a vazão (m^3/s); -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), que representa a rugosidade; -
é o diâmetro interno (m).
Observações didáticas: o expoentee a constante são empíricos — não precisa decorar as origens, mas é importante saber que cresce aproximadamente com , ou seja, aumentando a vazão a perda de carga cresce mais que linearmente. Na prática para este problema usaremos essa relação para achar quando for igual à diferença de nível disponível.
Passo 3
Determinar a vazão com registro totalmente aberto (
).
A diferença de nível entre a superfície do reservatório e a extremidade é . Como não há outras perdas e desprezamos velocidade no reservatório, a perda de carga máxima admissível ao longo do trecho é
. Então aplicamos Hazen–Williams e resolvemos para
:
A diferença de nível entre a superfície do reservatório e a extremidade é
Agora isolamos
:
Substituímos os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas intermediárias):
Logo o numerador fica
e o denominador é
Portanto
Passo 4
Continuando para obter
(aula rápida sobre potências):
Para recuperar fazemos a potência de ordem
:
Para recuperar
O expoente é
Calculando:
Interpretação: com o registro totalmente aberto a vazão que a tubulação escoa, sujeita à perda de carga que consumiu os
disponíveis, é
.
Passo 5
Vazão pedida (metade da vazão totalmente aberta):
(Dado prático: arredondei para quatro algarismos significativos como na resposta esperada.)
Passo 6
Calcular a perda de carga para
. (Uso de proporcionalidade útil!)
Como a fórmula de Hazen–Williams dá para os mesmos
, podemos escrever:
Como a fórmula de Hazen–Williams dá
Aqui
(quando
) e
. Então
Calculando a potência:
Logo
Significado: com metade da vazão a perda de carga cai para cerca de
.
Passo 7
Calcular a pressão lida no manômetro na extremidade (em metros de coluna d’água, mca).
Raciocínio físico simples e importante: a diferença total de nível entre a superfície do reservatório e o ponto de medição é . Parte dessa diferença é “gasta” vencendo as perdas de carga ao longo da tubulação (
). O que sobra aparece como pressão estática no ponto B (medida pelo manômetro), expressa em metros de coluna d’água. Assim:
Raciocínio físico simples e importante: a diferença total de nível entre a superfície do reservatório e o ponto de medição é
Interpretação: o manômetro registrará uma pressão equivalente a
de água quando a vazão for metade da vazão com o registro totalmente aberto.