Questão 11 - Uma canalização de ferro fundido, com 15 anos de uso ( \mathrm{C}=100 ), de 1.000 m de comprimento e 200 mm de diâmetro conduz água de um reservatório até um ponto situado numa cota de 20 m abaixo. Na extremidade da canalização há um manômetro para a leitura da pressão e um registro para controle da vazão. Calcule a pressão a ser lida no manômetro quando a vazão for a metade daquela que escoa com o registro totalmente aberto. (Despreze as perdas localizadas e a energia cinética, e utilize
a Fórmula de Hazen-Williams). Respostas: H f_{A B}=20 \mathrm{~m} admissível; Q=0,0489 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; Q / 2=0,0245 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ; H f_{A B}=5,53 \mathrm{~m} e P_{B}=14,47 \mathrm{mca}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a pressão lida no manômetro na extremidade da tubulação quando a vazão for metade daquela que escoa com o registro totalmente aberto.
Dados fornecidos (listei tudo de forma clara):
\;L=1000\\ \mathrm{m} (comprimento da tubulação).
\;D=200\\ \mathrm{mm}=0,2\\ \mathrm{m} (diâmetro).
\;C=100 (coeficiente de Hazen–Williams, dado para ferro fundido com 15 anos).
A cota na extremidade está 20\\ \mathrm{m} abaixo do reservatório (ou seja, a diferença de nível disponível entre superfície do reservatório e a extremidade é 20\\ \mathrm{m}).
Desprezam-se perdas localizadas e energia cinética. Deve-se usar a fórmula de Hazen–Williams.
O problema exige os seguintes resultados (que confirmaremos calculando): vazão com registro totalmente aberto Q, metade dessa vazão Q/2, perda de carga correspondente e a pressão (em metros de coluna d’água) lida no manômetro quando a vazão for Q/2.

Passo 2

Apresentação da fórmula e explicação dos termos (aula rápida e prática).
A fórmula de Hazen–Williams, em unidades SI apropriadas para perda de carga total H_f (em metros) numa tubulação cheia, pode ser escrita na forma:
H_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}
onde:
  • \;H_f é a perda de carga (m) ao longo do comprimento L;
  • \;L é o comprimento da tubulação (m);
  • \;Q é a vazão (m^3/s);
  • \;C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), que representa a rugosidade;
  • \;D é o diâmetro interno (m).
    Observações didáticas: o expoente 1{,}852 e a constante 10{,}67 são empíricos — não precisa decorar as origens, mas é importante saber que H_f cresce aproximadamente com Q^{1{,}852}, ou seja, aumentando a vazão a perda de carga cresce mais que linearmente. Na prática para este problema usaremos essa relação para achar Q quando H_f for igual à diferença de nível disponível.

Passo 3

Determinar a vazão com registro totalmente aberto ( Q).
A diferença de nível entre a superfície do reservatório e a extremidade é 20\\ \mathrm{m}. Como não há outras perdas e desprezamos velocidade no reservatório, a perda de carga máxima admissível ao longo do trecho é \;H_{f,\text{admissível}}=20\\ \mathrm{m}í. Então aplicamos Hazen–Williams e resolvemos para Q:
20 = 10{,}67\;\frac{1000\,Q^{1{,}852}}{100^{1{,}852}\,(0{,}2)^{4{,}8704}}.
Agora isolamos Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = \frac{20\;C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}{10{,}67\;L}.
Substituímos os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas intermediárias):
C^{1{,}852} = 100^{1{,}852} \approx 5{,}061\times10^{3},
D^{4{,}8704} = (0{,}2)^{4{,}8704} \approx 3{,}961\times10^{-4}.
Logo o numerador fica
20\times 5{,}061\times10^{3}\times 3{,}961\times10^{-4}\approx 40{,}083,
e o denominador é
10{,}67\times 1000 = 10670.
Portanto
Q^{1{,}852} \approx \frac{40{,}083}{10670} \approx 0{,}003755.

Passo 4

Continuando para obter Q (aula rápida sobre potências):
Para recuperar Q fazemos a potência de ordem 1/1{,}852:
Q = \left(0{,}003755\right)^{1/1{,}852}.
O expoente é
\frac{1}{1{,}852}\approx 0{,}5398.
Calculando:
Q \approx 0{,}0489\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação: com o registro totalmente aberto a vazão que a tubulação escoa, sujeita à perda de carga que consumiu os 20\\ \mathrm{m} disponíveis, é Q\approx 0{,}0489\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Vazão pedida (metade da vazão totalmente aberta):
Q/2 = 0{,}0489 / 2 = 0{,}02445\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx 0{,}0245\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(Dado prático: arredondei para quatro algarismos significativos como na resposta esperada.)

Passo 6

Calcular a perda de carga para Q/2. (Uso de proporcionalidade útil!)
Como a fórmula de Hazen–Williams dá H_f \propto Q^{1{,}852} para os mesmos L,C,D, podemos escrever:
H_{f,2} = H_{f,1}\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{1{,}852}.
Aqui H_{f,1}=20\\ \mathrm{m} (quando Q_1=0{,}0489\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e Q_2=Q_1/2. Então
H_{f,2} = 20\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}852}.
Calculando a potência:
2^{1{,}852}\approx 3{,}611\quad\Rightarrow\quad \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}852}\approx 0{,}2768.
Logo
H_{f,2} \approx 20\times 0{,}2768 \approx 5{,}53\\ \mathrm{m}.
Significado: com metade da vazão a perda de carga cai para cerca de 5{,}53\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a pressão lida no manômetro na extremidade (em metros de coluna d’água, mca).
Raciocínio físico simples e importante: a diferença total de nível entre a superfície do reservatório e o ponto de medição é 20\\ \mathrm{m}. Parte dessa diferença é “gasta” vencendo as perdas de carga ao longo da tubulação ( H_{f,2}=5{,}53\\ \mathrm{m}). O que sobra aparece como pressão estática no ponto B (medida pelo manômetro), expressa em metros de coluna d’água. Assim:
P_B\\ (\text{em mca}) = 20 - H_{f,2} = 20 - 5{,}53 = 14{,}47\\ \mathrm{mca}.
Interpretação: o manômetro registrará uma pressão equivalente a 14{,}47\\ \mathrm{m} de água quando a vazão for metade da vazão com o registro totalmente aberto.

Resposta

\;H_{f,AB(\text{admissível})}=20\\ \mathrm{m}í
\;Q=0{,}0489\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
\;Q/2=0{,}0245\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
\;H_{f,AB}=5{,}53\\ \mathrm{m}
\;P_{B}=14{,}47\\ \mathrm{mca}

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