Questão 10-50 (Roseta de 60^{\mathrm{O}} ) “Uma roseta delta ( 60^{\mathrm{O}} ) registra as seguintes leituras: \epsilon_{a}=-100 \mu \epsilon, \epsilon_{b}= 200 \mu \epsilon, \epsilon_{c}=-50 \mu \epsilon. Determine a deformação de cisalhamento máxima no plano.”

Passo 1

O enunciado (rosseta delta 60^\circ) fornece as leituras dos três extensômetros:
  • \epsilon_a = -100\\ \mu\epsilon
  • \epsilon_b = 200\\ \mu\epsilon
  • \epsilon_c = -50\\ \mu\epsilon
O que se pede:
  • Determinar a deformação de cisalhamento máxima no plano (ou seja, o valor máximo da deformação de cisalhamento de engenharia, \gamma_{\max}).
Observação sobre a geometria da roseta (informação padrão para "delta 60^\circ"): os sensores estão separados por 60^\circ. Adotar a convenção (padrão) para facilitar os cálculos:
  • sensor a orientado em \theta_a=0^\circ,
  • sensor b em \theta_b=60^\circ,
  • sensor c em \theta_c=120^\circ.
Todas as quantidades numéricas acima foram extraídas do enunciado.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula de transformação de deformações (a “fórmula da roseta”) e explicar cada termo, porque isso é a base da resolução.
A deformação normal medida por um gage orientado a um ângulo \theta (medida em relação ao eixo x) é dada por:
\epsilon(\theta)=\epsilon_x\cos^2\theta+\epsilon_y\sin^2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta.
Explicando os símbolos:
  • \epsilon(\theta): deformação normal medida pelo gage que tem direção \theta.
  • \epsilon_x: deformação normal no eixo x (ou leitura para \theta=0^\circ).
  • \epsilon_y: deformação normal no eixo y.
  • \gamma_{xy}: deformação de cisalhamento de engenharia referida aos eixos x,y (essa é a variável que descreve a distorção do elemento retangular).
  • \cos^2\theta,\\ \sin^2\theta,\\ \sin2\theta: funções trigonométricas do ângulo do gage.
Essa fórmula vem da transformação de deformações (análogo à transformação de tensões), e é suficiente para relacionar as três leituras com \epsilon_x,\\ \epsilon_y,\\ \gamma_{xy}.

Passo 3

Usando a fórmula para \theta_a=0^\circ. Colocando \theta=0^\circ obtemos:
\cos^2 0^\circ=1,\qquad \sin^2 0^\circ=0,\qquad \sin2\cdot0^\circ=0,
portanto
\epsilon_a=\epsilon_x.
Como \epsilon_a foi dada no enunciado, obtemos imediatamente:
\epsilon_x = \epsilon_a = -100\\ \mu\epsilon.

Passo 4

Aplicar a fórmula para \theta_b=60^\circ e \theta_c=120^\circ. Primeiro calcule as trigonométricas úteis:
\cos60^\circ=\tfrac{1}{2},\quad \cos^2 60^\circ=\tfrac{1}{4},
\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin^2 60^\circ=\tfrac{3}{4},
\sin(2\cdot60^\circ)=\sin120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin(2\cdot120^\circ)=\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora escrevemos as duas equações:
\epsilon_b = \epsilon_x\left(\tfrac{1}{4}\right) + \epsilon_y\left(\tfrac{3}{4}\right) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),
\epsilon_c = \epsilon_x\left(\tfrac{1}{4}\right) + \epsilon_y\left(\tfrac{3}{4}\right) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Usar as duas equações anteriores para encontrar \epsilon_y. Somando \epsilon_b e \epsilon_c cancela o termo com \gamma_{xy}:
\epsilon_b+\epsilon_c = 2\left[\epsilon_x\left(\tfrac{1}{4}\right)+\epsilon_y\left(\tfrac{3}{4}\right)\right] = \tfrac{1}{2}\epsilon_x + \tfrac{3}{2}\epsilon_y.
Isolando \epsilon_y:
\epsilon_y = \frac{2}{3}\Bigl[(\epsilon_b+\epsilon_c)-\tfrac{1}{2}\epsilon_x\Bigr].
Agora substituímos os valores dados (lembre que \epsilon_x=\epsilon_a foi obtido no passo 3; todos os números em \mu\epsilon):
\epsilon_b+\epsilon_c = 200 + (-50) = 150\\ \mu\epsilon,
(\epsilon_b+\epsilon_c)-\tfrac{1}{2}\epsilon_x = 150 - \tfrac{1}{2}(-100) = 150 + 50 = 200\\ \mu\epsilon.
Portanto
\epsilon_y = \frac{2}{3}\cdot 200 = \frac{400}{3}\\ \mu\epsilon \approx 133{,}333\\ \mu\epsilon.

Passo 6

Agora determinar \gamma_{xy}. Subtraindo as duas equações do passo 4 ( \epsilon_b-\epsilon_c) elimina \epsilon_x e \epsilon_y e isola \gamma_{xy}:
\epsilon_b-\epsilon_c = \left[\frac{\gamma_{xy}}{2}\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] - \left[\frac{\gamma_{xy}}{2}\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \frac{\gamma_{xy}}{2}\sqrt{3}.
Logo
\gamma_{xy} = \frac{2(\epsilon_b-\epsilon_c)}{\sqrt{3}}.
Substituindo números:
\epsilon_b-\epsilon_c = 200 - (-50) = 250\\ \mu\epsilon,
\gamma_{xy} = \frac{2\cdot 250}{\sqrt{3}} = \frac{500}{\sqrt{3}}\\ \mu\epsilon \approx 288{,}675\\ \mu\epsilon.

Passo 7

A partir de \epsilon_x,\\ \epsilon_y,\\ \gamma_{xy} calculamos a deformação de cisalhamento máxima no plano. Conceito e fórmula:
  • As deformações principais são
\epsilon_{\text{avg}}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}, \qquad R=\sqrt{\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2},
e as duas deformações principais são \epsilon_1=\epsilon_{\text{avg}}+R e \epsilon_2=\epsilon_{\text{avg}}-R.
  • A deformação de cisalhamento máxima de engenharia (no plano) corresponde à diferença entre as deformações principais:
\gamma_{\max}=\epsilon_1-\epsilon_2 = 2R.
Uma forma equivalente de calcular direto é:
\gamma_{\max}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
Agora calculamos numericamente usando as quantidades já encontradas:
\epsilon_x = -100\\ \mu\epsilon,\qquad \epsilon_y=\frac{400}{3}\\ \mu\epsilon,\qquad \gamma_{xy}=\frac{500}{\sqrt{3}}\\ \mu\epsilon.
Calcule (\epsilon_x-\epsilon_y)^2:
\epsilon_x-\epsilon_y = -100 - \frac{400}{3} = -\frac{700}{3}\\ \mu\epsilon,
(\epsilon_x-\epsilon_y)^2 = \left(\frac{700}{3}\right)^2 = \frac{490000}{9}\\ (\mu\epsilon)^2.
Calcule \gamma_{xy}^2:
\gamma_{xy}^2 = \left(\frac{500}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{250000}{3}\\ (\mu\epsilon)^2 = \frac{750000}{9}\\ (\mu\epsilon)^2.
Somando:
(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2 = \frac{490000}{9}+\frac{750000}{9}=\frac{1240000}{9}\\ (\mu\epsilon)^2.
Tomando a raiz:
\gamma_{\max} = \sqrt{\frac{1240000}{9}} = \frac{\sqrt{1240000}}{3}\\ \mu\epsilon \approx 371{,}184\\ \mu\epsilon.
Arredondando com precisão adequada:
\gamma_{\max}\approx 371{,}2\\ \mu\epsilon.

Passo 8

Interpretação rápida (para a prova): o procedimento padrão é
  1. usar \epsilon_a=\epsilon_x quando um gage está em 0^\circ,
  2. escrever as equações de transformação para os outros dois gages (aqui 60^\circ e 120^\circ),
  3. resolver o sistema para \epsilon_y e \gamma_{xy},
  4. usar \gamma_{\max}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
Pronto — tem toda a conta passo a passo e a fórmula que você precisa decorar e aplicar de forma direta na prova. Força aí, você consegue!

Resposta

\gamma_{\max}\approx 371{,}2\\ \mu\epsilon

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