Questão 10-42 (Lei de Hooke Generalizada) “O bloco de alumínio 6061-T6 (Módulo E e Poisson \nu tabelados) está submetido a uma pressão uniforme de 200 MPa em todas as suas faces. Determine a mudança no comprimento de um lado e a mudança no volume total.”

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido, com os valores que vou usar das tabelas):
  • Um bloco de alumínio 6061-T6 está submetido a uma pressão uniforme de 200\\ \text{MPa} em todas as faces (isto é, pressão hidrostática). Vou chamar a pressão de p=200\\ \text{MPa}.
  • As propriedades elásticas tabeladas que vou usar para o alumínio 6061-T6 são: E=69\\ \text{GPa} e \nu=0{,}33. Vou expressar E em \text{MPa} para facilitar contas com p: E=69{,}000\\ \text{MPa}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a mudança no comprimento de um lado (ou seja, a variação linear \Delta L em função do comprimento inicial L_0, e um valor numérico relativo).
    2. Determinar a mudança no volume total (ou seja, \Delta V em função do volume inicial V_0, e um valor numérico relativo).

Passo 2

Conceitos essenciais e a lei de Hooke generalizada (aulas rápidas):
  • Em elasticidade linear isotrópica, a relação entre tensões \sigma_i e deformações \varepsilon_i em 3D é dada pela forma anisotrópica simplificada (lei de Hooke generalizada):
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr), \qquad \varepsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\bigr), \qquad \varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr).
  • Significado das grandezas:
    • \sigma_i são as componentes de tensão (positivo em tração, negativo em compressão).
    • \varepsilon_i são as deformações (variação relativa de comprimento) na direção i.
    • E é o módulo de Young (rigidez à tração/compressão).
    • \nu é o coeficiente de Poisson (mostra quanto ocorre contração lateral quando estica, ou expansão lateral quando comprime).
  • No caso de pressão hidrostática uniforme p aplicada em todas as faces, as tensões principais são iguais: \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p (negativo porque é compressão). Vou substituir isso nas fórmulas.

Passo 3

Aplicando a lei de Hooke para pressão uniforme:
  • Substituindo \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p em \varepsilon_x:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(-p-\nu(-p+-p)\bigr) =\frac{1}{E}\bigl(-p+2\nu p\bigr) =\frac{p(2\nu-1)}{E}.
  • Observação sobre o sinal: aqui p>0 é a magnitude da pressão; como 2\nu-1 é negativo para \nu<0{,}5, obtemos \varepsilon_x<0 (contração), como esperado sob compressão hidrostática.

Passo 4

Calcular numericamente a deformação linear \varepsilon_x usando p=200\\ \text{MPa}, E=69{,}000\\ \text{MPa} e \nu=0{,}33:
  • Primeiro calcule 2\nu-1:
2\nu-1=2\cdot0{,}33-1=0{,}66-1=-0{,}34.
  • Agora
\varepsilon_x=\frac{200\cdot(-0{,}34)}{69{,}000}=\frac{-68}{69{,}000}=-0{,}000985507\ldots
Arredondando convenientemente:
\varepsilon_x\approx-9{,}86\times10^{-4}\quad(\text{adimensional}),
ou seja uma contração relativa de aproximadamente -0{,}0986\%.

Passo 5

Converter a deformação em mudança de comprimento:
  • A variação absoluta do comprimento de um lado qualquer é
\Delta L=\varepsilon_x\,L_0.
  • Substituindo o valor numérico de \varepsilon_x:
\Delta L\approx-9{,}86\times10^{-4}\,L_0.
Exemplo prático rápido (para intuição): se L_0=100\\ \text{mm}, então \Delta L\approx-0{,}0986\\ \text{mm} (ou seja, aproximadamente -0{,}1\\ \text{mm} de encurtamento).

Passo 6

Deformação volumétrica e mudança de volume (duas maneiras, mostram consistência):
  • A deformação volumétrica (variação relativa de volume) é \varepsilon_v=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z.
  • Usando expressão geral e \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p obtemos
\varepsilon_v=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z) =\frac{1-2\nu}{E}(-3p)=-\frac{3p(1-2\nu)}{E}.
  • Alternativamente via módulo de compressibilidade (bulk modulus) K:
K=\frac{E}{3(1-2\nu)},\qquad \varepsilon_v=-\frac{p}{K},
o que dá a mesma expressão acima.

Passo 7

Calcular numericamente a deformação volumétrica:
  • Primeiro calcule 1-2\nu:
1-2\nu=1-2\cdot0{,}33=1-0{,}66=0{,}34.
  • Agora
\varepsilon_v=-\frac{3\cdot200\cdot0{,}34}{69{,}000}=-\frac{204}{69{,}000}=-0{,}00295652\ldots
Arredondando:
\varepsilon_v\approx-2{,}9565\times10^{-3},
ou seja -0{,}2957\% de diminuição de volume.

Passo 8

Converter a deformação volumétrica em mudança de volume absoluta:
  • A variação absoluta do volume é
\Delta V=\varepsilon_v\,V_0.
  • Substituindo o valor numérico:
\Delta V\approx-2{,}9565\times10^{-3}\,V_0.
Exemplo prático: para um cubo de V_0=1{,}0\\ \text{m}^3 a redução de volume seria \Delta V\approx-2{,}9565\times10^{-3}\\ \text{m}^3\approx-2{,}96\\ \text{L}.

Resposta

\Delta L=\varepsilon_x L_0=\dfrac{p(2\nu-1)}{E}\,L_0\approx-9{,}86\times10^{-4}\,L_0
\Delta V=\varepsilon_v V_0=-\dfrac{3p(1-2\nu)}{E}\,V_0\approx-2{,}9565\times10^{-3}\,V_0

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