Questão 10-42 (Lei de Hooke Generalizada) “O bloco de alumínio 6061-T6 (Módulo E e Poisson
tabelados) está submetido a uma pressão uniforme de 200 MPa em todas as suas faces. Determine a mudança no comprimento de um lado e a mudança no volume total.”
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido, com os valores que vou usar das tabelas):
- Um bloco de alumínio 6061-T6 está submetido a uma pressão uniforme de
em todas as faces (isto é, pressão hidrostática). Vou chamar a pressão de . - As propriedades elásticas tabeladas que vou usar para o alumínio 6061-T6 são:
e . Vou expressar em para facilitar contas com : . - Perguntas:
- Determinar a mudança no comprimento de um lado (ou seja, a variação linear
em função do comprimento inicial , e um valor numérico relativo). - Determinar a mudança no volume total (ou seja,
em função do volume inicial , e um valor numérico relativo).
- Determinar a mudança no comprimento de um lado (ou seja, a variação linear
Passo 2
Conceitos essenciais e a lei de Hooke generalizada (aulas rápidas):
- Em elasticidade linear isotrópica, a relação entre tensões
e deformações em 3D é dada pela forma anisotrópica simplificada (lei de Hooke generalizada):
- Significado das grandezas:
-
são as componentes de tensão (positivo em tração, negativo em compressão). -
são as deformações (variação relativa de comprimento) na direção . -
é o módulo de Young (rigidez à tração/compressão). -
é o coeficiente de Poisson (mostra quanto ocorre contração lateral quando estica, ou expansão lateral quando comprime).
-
- No caso de pressão hidrostática uniforme
aplicada em todas as faces, as tensões principais são iguais: (negativo porque é compressão). Vou substituir isso nas fórmulas.
Passo 3
Aplicando a lei de Hooke para pressão uniforme:
- Substituindo
em :
- Observação sobre o sinal: aqui
é a magnitude da pressão; como é negativo para , obtemos (contração), como esperado sob compressão hidrostática.
Passo 4
Calcular numericamente a deformação linear
usando
,
e
:
- Primeiro calcule
:
- Agora
Arredondando convenientemente:
ou seja uma contração relativa de aproximadamente
.
Passo 5
Converter a deformação em mudança de comprimento:
- A variação absoluta do comprimento de um lado qualquer é
- Substituindo o valor numérico de
:
Exemplo prático rápido (para intuição): se
, então
(ou seja, aproximadamente
de encurtamento).
Passo 6
Deformação volumétrica e mudança de volume (duas maneiras, mostram consistência):
- A deformação volumétrica (variação relativa de volume) é
. - Usando expressão geral e
obtemos
- Alternativamente via módulo de compressibilidade (bulk modulus)
:
o que dá a mesma expressão acima.
Passo 7
Calcular numericamente a deformação volumétrica:
- Primeiro calcule
:
- Agora
Arredondando:
ou seja
de diminuição de volume.
Passo 8
Converter a deformação volumétrica em mudança de volume absoluta:
- A variação absoluta do volume é
- Substituindo o valor numérico:
Exemplo prático: para um cubo de
a redução de volume seria
.