Questão 11. Considere o cone
, de equação
, e o plano
, cujo vetor normal faz um ângulo
com eixo
. Suponhamos que
, de forma que a interseção de
com
seja uma elipse. Denotemos por
a região contida em
limitada por
e por
a região contida em
limitada por
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está descrito abaixo:
- Temos o cone
de equação
- Existe um plano
cujo vetor normal faz um ângulo com o eixo . - Supõe-se
, de modo que é uma elipse. - Denotamos por
a porção da superfície do cone limitada por (ou seja, a “casquinha” do cone cortada pelo plano). - Denotamos por
a região do plano limitada por essa elipse (ou seja, a região elíptica dentro do plano).
O que se pede mostrar:
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
- Vou projetar as duas regiões sobre o plano horizontal
(o plano ). A ideia é que tanto a área do pedaço do cone quanto a área da elipse no plano podem ser expressas em termos da área de sua projeção no plano . Assim a razão entre as áreas tende a simplificar, porque a mesma área projetada aparece em ambas as expressões multiplicada por fatores geométricos simples. - Esta escolha é conveniente porque a superfície do cone é um gráfico
com gradiente de módulo constante, o que simplifica muito a expressão da área da superfície.
Passo 3
Fórmula da área de uma superfície gráfica e interpretação:
- Se uma superfície é o gráfico
sobre uma região do plano , a área dessa superfície é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, e
é o elemento de área no plano
.
- Explicação do porquê: geometricamente, cada pequeno retângulo no
de área gera um pequeno paralelogramo na superfície cuja área é . Isso vem do comprimento dos vetores tangentes e do produto vetorial.
Passo 4
Aplicação ao cone: calcular
,
e o fator de escala
- No nosso caso
. Para simplificar, ponha
Assim
, onde
.
- Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
- Então o quadrado do módulo do gradiente é
Note que isso é independente de
: o módulo do gradiente é constante e igual a
.
- Portanto o fator dentro da raiz que aparece na fórmula da área é constante:
Passo 5
Expressão da área
em função da projeção no plano
- Seja
a projeção no plano da elipse . Então a porção do cone é exatamente o gráfico sobre . - Pela fórmula da área de superfície,
- Denotando
(a área da projeção no plano ), obtemos
Passo 6
Relação entre a área
da elipse no plano
e sua projeção
- Seja
o vetor normal unitário ao plano . Denotemos sua componente na direção por . Geometricamente, a projeção ortogonal de uma área infinitesimal no plano sobre o plano tem área . Em outras palavras,
Isto decorre do fato de que a componente
do vetor área é
e corresponde à área da projeção sobre
.
- Integrando sobre a região elíptica, obtemos
- Portanto
Passo 7
Combinar as duas expressões e substituir
- A razão procurada é
- Substituindo
e usando a identidade trigonométrica , obtemos
- Logo
Passo 8
Relacionar
com o ângulo
e conclusão
- Pelo enunciado, o vetor normal do plano faz ângulo
com o eixo . Para um vetor unitário , a componente na direção é exatamente o cosseno desse ângulo:
- Como
implica , temos e portanto . - Substituindo em (Passo 7) obtemos