Questão 14. A lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico \vec{E} através de uma superfície fechada S devido a uma distribuição de cargas no seu interior é
\iint_{S} \vec{E} \bullet \vec{n} d A=4 \pi Q
onde Q é a carga total no interior de S e \vec{n} é o campo de vetores unitários apontando para fora de S. Se uma dada distribuição de cargas no interior da superfície fechada S, formada pelo parabolóide z=1-x^{2}-y^{2} e pelo disco x^{2}+y^{2} \leq 1, gera o campo \vec{E}(x, y, z)=z x \vec{i}+z y \vec{j}+x y \vec{k}, use a lei de Gauss para encontrar a carga total no interior da superfície. Resposta: \frac{1}{12} C.

Passo 1

O enunciado dá a lei de Gauss na forma
\iint_{S} \vec{E}\bullet\vec{n}\,dA=4\pi Q,
onde Q é a carga total no interior da superfície fechada S. A superfície S é formada pelo parabolóide
z=1-x^{2}-y^{2}
e pelo disco
x^{2}+y^{2}\le 1.
O campo elétrico é dado por
\vec{E}(x,y,z)=z x\,\vec{i}+z y\,\vec{j}+x y\,\vec{k}.
O que se pede: encontrar a carga total Q no interior de S.
Informações relevantes listadas:
  • superfície fechada S é o parabolóide acima fechando com o disco no plano z=0 (pois z=1-x^2-y^2 corta z=0 quando x^2+y^2=1);
  • volume V interior é dado por \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 1,\;0\le z\le 1-x^2-y^2\};
  • campo \vec{E} explicitado acima.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): usar a lei de Gauss. É mais fácil calcular o fluxo pela superfície fechada usando o teorema da divergência (que é a versão diferencial da lei de Gauss): o fluxo pela superfície é igual à integral tripla da divergência de \vec{E} sobre o volume V. Em fórmulas:
\iint_{S}\vec{E}\bullet\vec{n}\,dA=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{E}\,dV.
Como a lei de Gauss dá \iint_{S}\vec{E}\bullet\vec{n}\,dA=4\pi Q, segue que
Q=\frac{1}{4\pi}\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{E}\,dV.
Vou então:
  1. calcular \nabla\cdot\vec{E};
  2. montar a integral tripla sobre V (escolhendo coordenadas convenientes);
  3. avaliar a integral e isolar Q.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{E}. Lembre que \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}. Aqui E_x=zx, E_y=zy, E_z=xy. Calculamos cada derivada parcial tratando x,y,z como variáveis independentes:
\frac{\partial}{\partial x}(zx)=z,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(zy)=z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(xy)=0.
Portanto
\nabla\cdot\vec{E}=z+z+0=2z.
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume; matematicamente é a soma das derivadas parciais das componentes.

Passo 4

Montar a integral tripla \iiint_{V}2z\,dV. Como a região V é simétrica em torno do eixo z e é natural em coordenadas polares/cilíndricas, usamos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Lembre:
  • elemento de volume dV = r\,dz\,dr\,d\theta (o fator r é o jacobiano);
  • os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1] (pois o disco tem raio 1), z\in[0,\,1-r^{2}] (entre o plano z=0 e o parabolóide z=1-r^{2}). Assim a integral fica
\iiint_{V}2z\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-r^{2}} 2z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em z (a integral interna). Calcule
\int_{0}^{1-r^{2}} 2z\,dz = \left[z^{2}\right]_{0}^{1-r^{2}}=(1-r^{2})^{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1-r^{2})^{2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Desenvolver o integrando em potências de r e integrar em r. Primeiro expandimos:
(1-r^{2})^{2}=1-2r^{2}+r^{4}.
Multiplicando por r
r(1-r^{2})^{2}=r-2r^{3}+r^{5}.
Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(r-2r^{3}+r^{5})\,dr=\left[\frac{1}{2}r^{2}-\frac{1}{2}r^{4}+\frac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Integrar em \theta e obter o fluxo total. Multiplicando pelo fator angular:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{6}\,d\theta=\frac{1}{6}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{3}.
Logo o fluxo através de S vale \dfrac{\pi}{3}. Pelo enunciado de Gauss:
\iint_{S}\vec{E}\bullet\vec{n}\,dA=4\pi Q=\frac{\pi}{3}.

Passo 8

Isolar Q. Da igualdade 4\pi Q=\dfrac{\pi}{3} temos
Q=\frac{1}{4\pi}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{12}.
Unidade: coulomb ( \mathrm{C}). Pequeno incentivo: você chegou lá — usamos divergência, coordenadas cilíndricas, e fizemos as integrais passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\\ \mathrm{C}

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