Questão 14. A lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada
devido a uma distribuição de cargas no seu interior é
onde
é a carga total no interior de
e
é o campo de vetores unitários apontando para fora de
. Se uma dada distribuição de cargas no interior da superfície fechada
, formada pelo parabolóide
e pelo disco
, gera o campo
, use a lei de Gauss para encontrar a carga total no interior da superfície. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado dá a lei de Gauss na forma
onde
é a carga total no interior da superfície fechada
. A superfície
é formada pelo parabolóide
e pelo disco
O campo elétrico é dado por
O que se pede: encontrar a carga total
no interior de
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- superfície fechada
é o parabolóide acima fechando com o disco no plano (pois corta quando ); - volume
interior é dado por ; - campo
explicitado acima.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): usar a lei de Gauss. É mais fácil calcular o fluxo pela superfície fechada usando o teorema da divergência (que é a versão diferencial da lei de Gauss): o fluxo pela superfície é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
. Em fórmulas:
Como a lei de Gauss dá
, segue que
Vou então:
- calcular
; - montar a integral tripla sobre
(escolhendo coordenadas convenientes); - avaliar a integral e isolar
.
Passo 3
Calcular a divergência
. Lembre que
. Aqui
,
,
. Calculamos cada derivada parcial tratando
como variáveis independentes:
Portanto
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume; matematicamente é a soma das derivadas parciais das componentes.
Passo 4
Montar a integral tripla
. Como a região
é simétrica em torno do eixo
e é natural em coordenadas polares/cilíndricas, usamos coordenadas cilíndricas
com
,
. Lembre:
- elemento de volume
(o fator é o jacobiano); - os limites são
, (pois o disco tem raio 1), (entre o plano e o parabolóide ). Assim a integral fica
Passo 5
Integrar em
(a integral interna). Calcule
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Desenvolver o integrando em potências de
e integrar em
. Primeiro expandimos:
Multiplicando por
dá
Agora integramos de
a
:
Passo 7
Integrar em
e obter o fluxo total. Multiplicando pelo fator angular:
Logo o fluxo através de
vale
. Pelo enunciado de Gauss:
Passo 8
Isolar
. Da igualdade
temos
Unidade: coulomb (
). Pequeno incentivo: você chegou lá — usamos divergência, coordenadas cilíndricas, e fizemos as integrais passo a passo.