Questão 7. Calcule a área do cone S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \leq 2\right\}.
Resposta: 4 \pi \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;z=\sqrt{x^2+y^2},\\ z\le2\},
que é a parte lateral de um cone reto com vértice na origem e plano base em z=2. Para resolver, vamos reconhecer a geometria desse cone: raio da base, altura e geratriz.

Passo 2

O corte em z=2 satisfaz 2=\sqrt{x^2+y^2}, logo o raio da base é
R=2.
A altura do cone, do vértice (0,0,0) até a base z=2, é
h=2.
A geratriz l é a distância do vértice a um ponto da borda da base, dada por
l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 3

A área lateral de um cone reto é
\text{Área}=\pi R\,l.Á
Substituindo R=2 e l=2\sqrt{2}, temos
\text{Área}=\pi\cdot2\cdot2\sqrt{2}=4\pi\sqrt{2}.Á

Resposta

A área da superfície S é 4\pi\sqrt{2}.

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