Questão 11
Determine o raio
da circunferência circunscrita a um triângulo
, sabendo que o lado
mede 15 cm e o ângulo oposto
mede
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pedido: determinar o raio
da circunferência circunscrita ao triângulo . - Dados fornecidos:
- o lado oposto ao vértice
tem medida ; - o ângulo oposto a esse lado é
.
- o lado oposto ao vértice
Passo 2
Ideia geométrica e definição das grandezas (vamos desenhar mentalmente a circunferência).
- A circunferência circunscrita tem centro
e raio . - O lado
é o comprimento do cordão no círculo (ou seja, é um cordão que subtende o ângulo inscrito no ponto ). - O ângulo central que subtende o mesmo arco que
vale . Isso é uma propriedade básica de ângulos inscritos: o ângulo central correspondente é o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.
Passo 3
Derivação da fórmula que relaciona
,
e
.
- Considere o triângulo
, onde é o centro e e são extremidades do cordão de comprimento . Como , o triângulo é isósceles. - Seja
o ponto médio do cordão . A reta é perpendicular a e divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. - No triângulo retângulo
temos: - hipotenusa
; - cateto oposto ao ângulo
(no triângulo esse ângulo vale ) é .
- hipotenusa
- Pela definição de seno em triângulo retângulo (seno = cateto oposto / hipotenusa):
- Isolando
ou obtemos a fórmula conhecida (lei dos senos estendida / relação corda-raio):
ou equivalentemente
Aqui:
é o comprimento do lado/oposto ao ângulo
,
é o ângulo em graus (ou rad),
é o raio da circunferência circunscrita.
Passo 4
Aplicar a fórmula aos valores dados e calcular
.
- Usando
, isolamos :
- Substituindo
e :
- Sabemos que
. Então:
Passo 5
Interpretação curta e verificação rápida.
- O cálculo mostra que o raio da circunferência circunscrita é igual a
. - Observação útil para prova: sempre que aparecer
e , lembrar da relação — é rápida e evita trigonometria desnecessária.