Questão 11

Determine o raio R da circunferência circunscrita a um triângulo A B C, sabendo que o lado a mede 15 cm e o ângulo oposto \hat{A} mede 30^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedido: determinar o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
  • Dados fornecidos:
    • o lado oposto ao vértice A tem medida a=15\\ \text{cm};
    • o ângulo oposto a esse lado é \hat{A}=30^\circ.

Passo 2

Ideia geométrica e definição das grandezas (vamos desenhar mentalmente a circunferência).
  • A circunferência circunscrita tem centro O e raio R.
  • O lado a é o comprimento do cordão BC no círculo (ou seja, é um cordão que subtende o ângulo inscrito \hat{A} no ponto A).
  • O ângulo central que subtende o mesmo arco que \hat{A} vale 2\hat{A}. Isso é uma propriedade básica de ângulos inscritos: o ângulo central correspondente é o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.

Passo 3

Derivação da fórmula que relaciona a, \hat{A} e R.
  • Considere o triângulo AOB, onde O é o centro e A e B são extremidades do cordão de comprimento a. Como OA=OB=R, o triângulo AOB é isósceles.
  • Seja M o ponto médio do cordão AB. A reta OM é perpendicular a AB e divide o triângulo AOB em dois triângulos retângulos congruentes.
  • No triângulo retângulo AOM temos:
    • hipotenusa OA = R;
    • cateto oposto ao ângulo \hat{A} (no triângulo AOM esse ângulo vale \hat{A}) é AM = \dfrac{a}{2}.
  • Pela definição de seno em triângulo retângulo (seno = cateto oposto / hipotenusa):
\sin\hat{A}=\frac{AM}{OA}=\frac{\dfrac{a}{2}}{R}.
  • Isolando a ou R obtemos a fórmula conhecida (lei dos senos estendida / relação corda-raio):
a=2R\sin\hat{A}
ou equivalentemente
\frac{a}{\sin\hat{A}}=2R.
Aqui: a é o comprimento do lado/oposto ao ângulo \hat{A}, \hat{A} é o ângulo em graus (ou rad), R é o raio da circunferência circunscrita.

Passo 4

Aplicar a fórmula aos valores dados e calcular R.
  • Usando \displaystyle a=2R\sin\hat{A}, isolamos R:
R=\frac{a}{2\sin\hat{A}}.
  • Substituindo a=15\\ \text{cm} e \hat{A}=30^\circ:
R=\frac{15}{2\sin 30^\circ}.
  • Sabemos que \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}. Então:
R=\frac{15}{2\cdot\dfrac{1}{2}}=\frac{15}{1}=15.

Passo 5

Interpretação curta e verificação rápida.
  • O cálculo mostra que o raio da circunferência circunscrita é igual a 15\\ \text{cm}.
  • Observação útil para prova: sempre que aparecer a e \hat{A}, lembrar da relação a=2R\sin\hat{A} — é rápida e evita trigonometria desnecessária.

Resposta

15\\ \text{cm}

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